第九章 9．3．1　平面向量基本定理（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

数学必修第二册（苏教） 知识探究区——注重知识生成过程 不共线 不共线 能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 平面向量基本定理的理解 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的综合应用 易错系列(六)——对基底的定义理解不准确 9．3　向量基本定理及坐标表示 9．3．1　平面向量基本定理 课程标准 核心素养 理解平面向量基本定理及其意义． 1．数学抽象：了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理． 2．逻辑推理：会用基底表示平面内任一向量. 【情境导入】 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线的力． 问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？ 提示：将两个不共线的向量及任一向量的起点平移到同一点，利用平行四边形法则以及数乘向量，可知平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示． 【知识概括】 1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个_________的向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________________ 基底 两个_________的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底 λ1e1＋λ2e2 2．正交分解 由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解． 【要点解读】 平面向量基本定理的关注点 ①e1、e2是同一平面内的两个不共线向量； ②该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的； ③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底； ④定理的证明，课本中是用作图法证明了它的存在性，又用反证法证明了它的唯一性． [示例](教材P25例1改编)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，若 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝b，则用a，b表示 eq \o(AF,\s\up16(→)) 的结果为______． 解析：由题意，可得 eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up16(→)) － eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝a－b， ∵D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点， ∴ eq \o(CD,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) (a－b)， 同理， eq \o(CE,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,4) (a－b)， eq \o(CF,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(CE,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,8) (a－b)， ∴ eq \o(AF,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CF,\s\up16(→)) ＝b＋ eq \f(1,8) (a－b)＝ eq \f(1,8) a＋ eq \f(7,8) b. 答案： eq \o(AF,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,8) a＋ eq \f(7,8) b [对点练]如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up16(→)) ＝b，用a，b表示 eq \o(AG,\s\up16(→)) ＝____________________. 解析： eq \o(AG,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋ eq \o(BE,\s\up16(→)) ＋ eq \o(EG,\s\up16(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,4) eq \o(BD,\s\up16(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,4) (b－a)＝ eq \f(3,4) a＋ eq \f(3,4) b. 答案： eq \f(3,4) a＋ eq \f(3,4) b 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量a与b是平面内两个不共线的