第六章 6．3．4　平面向量数乘运算的坐标表示（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

→ 若四边形 OABP 为平行四边形，则OA 3－3t＝1， → ＝PB . ∴ 3－3t＝2， 该方程组无解． 故四边形 OABP 不能成为平行四边形． 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 核心素养 1．会用坐标表示平面向量的数乘 1．数学运算：掌握数乘向量的坐 运算． 标运算法则． 2．能用坐标表示平面向量共线的 2．数学抽象：理解用坐标表示两 条件． 向量共线的条件． 知识探究区——注重知识生成过程知识点一 平面向量数乘的坐标运算 【情境导入】 问题：已知 a＝(x1，y1)，你能得出λa 的坐标吗？ 提示：λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，所以λa＝(λx1，λy1). 【知识概括】 若 a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝(λx1，λy1)． 文字语言描述为：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． [示例]1.(教材P31 例 6 改编)已知向量 a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则 2a－3b＝( ) A．(－8，3) B．(－8，－3) C．(8，3) D．(8，－3) 解析：选 C.由题意得 2a－3b＝(2，6)－(－6，3)＝(8，3). [对点练]1.(2022·湖南邵东高一检测)已知向量 a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝( ) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 解析：选 A.因为向量 a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)， 所以 b＝(3，2)－2a＝(3，2)－2(1，2)＝(1，－2). 知识点二 平面向量共线的坐标表示 【情境导入】问题：1.向量共线定理的内容是什么？ 2．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.若 a 与 b 共线，如何用坐标表示这两个共线向量？ 提示：1.向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa． 2．因为 a 与 b 共线，当且仅当存在实数λ，使 a＝λb．如果用坐标表示， x1＝λx2， 可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即 y1＝λy2， 消去λ后得 x1y2－x2y1＝0. 1. 两向量共线的充要条件 【知识概括】 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.则 a，b 共线的充要条件是 x1y2－x2y1 ＝0． 2. 中点坐标公式 若 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段 P1P2 的中点 P 的坐标是 x1＋x2 2 y1＋y2 ， 2 . 【要点解读】 (1) 两向量共线的充要条件可变形为 x1y2－x2y1.巧记为“外项积等于内项积” 或“交叉相乘积相等”． (2) 两个向量共线的坐标表示还可以写成x1 x2 ＝y1 y2 (x2≠0，y2≠0)，即两个不平 行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． (3) 当 a≠0，b＝0 时，a∥b，此时 x1y2－x2y1＝0 也成立，即对任意向量 a，b 都有 x1y2－x2y1＝0⇔a∥b． [示例]2.(教材 P31 例 7 改编)已知平面向量 a＝(x，1)，b＝(1，2)，若 a∥b， 则实数 x＝( ) A．－2 B．5 C．1 2 D．－5 解析：选 C.∵a＝(x，1)，b＝(1，2)，a∥b，∴2x－1×1＝0，解得 x＝1 . 2 [对点练]2.判断下列各组中的向量是否平行： (1)a＝(1，3)，b＝(2，4)； ( ( )(2)a＝(1，2)，b＝ 1 2 ，1). 解析：法一 (1)∵1×4－3×2＝－2≠0， ∴a 与 b 不平行． (2)∵1×1－2×1 2 ＝0，∴a∥b． 法二 (1)∵1 2 ≠3 ，∴a 与 b 不平行． 4 1 (2)∵1 2 ＝2 ，∴a∥b． 1 能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 平面向量数乘的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧 (1) 进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系； (2)在进行平面向量坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再 根据向量的坐标运算法则进行计算； (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． [例 1](1)已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： ①2a＋3b；②a－3b；③1 2 a－1 b． 3 解：①2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). ②a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). ③1 a－1 2 3 b＝1 2 (－1，2)－1 3 (2，1) －1，1 2，1 －7，2 ＝ 2 － 3 3 ＝ 6 3 . → → → → (2)已知 A(－2，4)，