第四章 4．3　指数函数与对数函数的关系（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

4.3 指数函数与对数函数的关系 [课标解读]1.知道对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数(a＞0 且 a≠1)2.能利用反函数与原函数图象、单调性等性质的关系解决相关的问题． 知识点 指数函数与对数函数的关系 1. 反函数的概念 一般地，如果在函数 y＝f(x)中，给定值域中任意一个 y 的值，只有唯一的 x 与之对应， 那么 x 是 y 的函数，这个函数称为 y＝f(x)的反函数．此时，称 y＝f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用 x 表示，因变量仍用 y 表示，则函数 y＝f(x)的反函数的表达式，可以通过对调 y＝f(x)中的 x 与 y，然后从 x＝f(y)中求出 y 得到． 2. 反函数的性质 一般地，函数 y＝f(x)的反函数记作 y＝f－1(x)．则 (1) y＝f(x)的定义域与 y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与 y＝f－1(x)的定义域相同． (2) y＝f(x)与 y＝f－1(x)的图象关于直线 y＝x 对称． (3) 单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同． 方法技巧 (1) 由性质(2)可知，若函数 y＝f(x)的图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图象上；反之，若点(b，a)在 y＝f(x)的反函数的图象上，则点(a，b)必在函数 y＝f(x)的图象上． (2) 特别地，若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线 y＝x 对 称，如反比例函数 y k ＝ (k≠0)． x 3. 求反函数的步骤 当函数 y＝f(x)存在反函数时，求反函数的步骤为： ( 交换 x ， y ，得 y ＝ f － 1 （ x ） ) ( 由 y ＝ f （ x ） ，解 出 x ＝ f － 1 （ y ） ) ( 根据 y ＝ f （ x ） 的 值域，写出 y ＝ f － 1 （ x ） 的定 义域 )→ → (1) 对于函数 y＝f(x)，若任意给定值域中的一个值，只有唯一的 x 与之对应，则 f(x)存在 反函数．如一次函数 y＝kx＋b(k≠0)、反比例函数 y＝k(k≠0)、指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)、 x 对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)，它们都有反函数；如二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在 整个定义域上没有反函数，因为关于－ b 对称的两个不同的自变量对应同一个函数值，所以 2a 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有反函数． (2) 互为反函数的两个函数的定义域与值域互换，对应法则互逆． 1．函数 y＝ x－1＋1(x≥1)的反函数是( ) A．y＝x2－2x＋2(x＜1) B．y＝x2－2x＋2(x≥1) C．y＝x2－2x(x＜1) D．y＝x2－2x(x≥1) B [由 y＝ x－1＋1，得 x＝(y－1)2＋1， 即 x＝y2－2y＋2， ∵x≥1，∴y＝ x－1＋1≥1， ∴反函数为 y＝x2－2x＋2(x≥1)．] 2. 若函数 y＝f(x)＝1＋3－x 的反函数为 y＝g(x)，则 g(10)等于( ) A．2 B．－2 C．3 D．－1 B [方法一 由 y＝1＋3－x 得 x＝－log3(y－1)，又 3－x＞0，∴y＝1＋3－x＞1， ∴g(x)＝－log3(x－1)(x＞1)，∴g(10)＝－2. 方法二 设 g(10)＝a，则 f(a)＝10， 即 1＋3－a＝10，∴a＝－2，即 g(10)＝－2.] 学生用书 第 24 页 3. 函数 y＝ex 的图象与函数 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称，则( ) A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝xe C [易知 y＝f(x)是 y＝ex 的反函数，所以 f(x)＝ln x．] 4．(多选)下列区间，在函数 f(x)＝log2(3x＋1)的反函数 y＝f－1(x)的定义域内的是( ) A．(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) ACD [y＝f－1(x)的定义域即函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域．∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0， ∴y＝f－1(x)的定义域为(0，＋∞)．故选 ACD．] 5．(多选) (2020·江苏省无锡市单元测试)已知函数 y＝－logax(a>0，a≠1)和 y＝ a≠1)，以下结论正确的有( ) A. 它们互为反函数 B. 它们的定义域与值域正好互换 x ( 1 a )(a>0， C. 它们的单调性相反 D. 它们的图象关于直线 y＝x 对称 ABD [∵y＝－logax＝log x， ( 1 a )1 a ∴函数 y＝－logax(a>0