专题4.2 等差数列（7类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.2 等差数列 【考点1：等差数列的有关概念】 1 【考点2：等差数列的通项】 3 【考点3：等差数列的前n项和】 6 【考点4：等差数列的基本性质及应用】 10 【考点5：等差数列前n项和的最值问题】 14 【考点6：等差数列的判定与证明】 17 【考点7：等差数列的实际应用】 20 【考点1：等差数列的有关概念】 【知识点：等差数列的有关概念】 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项． 1．（2022·陕西·千阳县中学高二阶段练习）已知，，则的等差中项为（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质进行求解即可 【详解】设的等差中项为， 所以， 因为，，所以， 故选：A 2．（2007·全国·高考真题（理））设命题甲：的一个内角为60°．命题乙：的三内角的度数成等差数列．那么（    ） A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】的一个内角为60°，则另两内角的和为120°，因此的三内角的度数成等差数列， 反之，的三内角的度数成等差数列，由三角形内角和定理知，必有一个内角为60°， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 3．（2023·上海·高三专题练习）若等差数列满足，则____． 【答案】8 【分析】由是等差数列可得，从而即可求出的值． 【详解】解：是等差数列， ， ． 故答案为：8． 4．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））已知3为，的等差中项，2为，的等比中项，则___________. 【答案】 【分析】根据等差、等比中项即可代入求值. 【详解】由等差、等比中项可得，所以， 故答案为： 5．（2007·天津·高考真题）如果已知有两个相等的实数根，求证：a，b，c成等差数列. 【答案】详见解析 【分析】根据有两个相等的实数根，由判别式等于零，结合等差数列的定义证明. 【详解】解：因为有两个相等的实数根， 所以，化简得， 即， 所以a，b，c成等差数列. 6．（2007·全国·高考真题（理））若，求证：，，成等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】根据所给的等式进行整理，分解整理成符合完全平方形式，得到一个式子的完全平方等于0，则这个式子等于0，三个变量符合等差数列． 【详解】证明： ，即 ，，成等差数列． 7．（2007·全国·高考真题（文））已知等差数列a，b，c中的三个数都是正数，且公差不为零．求证它们的倒数所组成的数列不可能成等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】由反证法与等差数列性质证明， 【详解】假设成等差数列，即， 而成等差数列，，化简得，得，，与题意矛盾， 故假设不成立，不可能成等差数列 【考点2：等差数列的通项】 【知识点：等差数列的通项】 通项公式：an＝a1＋(n－1)d. [方法技巧] 解决等差数列通项中的基本量的思路 在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可． 1．（2022·江苏盐城·高二期中）401是等差数列5，9，，的第项．（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】C 【分析】根据等差数列定义和通项公式即可. 【详解】等差数列5，9，13，…中， 首项，公差， ， ， 故401是等差数列5，9，13…的第100项． 故选：C. 2．（2022·广西北海·一模（理））在等差数列中，，，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．20 【答案】C 【分析】利用已知条件列方程组求出，从而可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则由题意可得 ，解得， 所以， 故选：C. 3．（2022·江苏盐城·高二期中）已知是等差数列，且，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】结合等差数列通项公式即可解决. 【详解】设等差数列的公差为 ，由得，， 则 故选：B. 4．（2022·上海市文建中学高一期中）已知等差数列满足：，，则___________. 【答案】 【分析】由等差数列的通项公式转化为基本量进行计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则 解得， ∴. 故答案为：. 5．（河南省普高联考2022-2023学年高三上学期考理科数学测评卷（二））若各项均不为零的数列满足，，且，则______． 【答案】 【分析】由，可知为等差数列，从而可