1.4 第6课时 用空间向量研究夹角问题(2)——二面角-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 第6课时 用空间向量研究夹角问题(2)——二面角 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 素养养成·学透教材 (2) 图(2) 课堂评价·及时反馈 CD Thank you for watching 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 学习 目标 1. 理解空间面面夹角的概念． 2. 能利用向量方法求二面角的大小． 3. 掌握利用空间向量解决立体几何中二面角问题的方法与步骤. 类型1　求二面角 　(P37例8补充)如图(1)，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD＝AB＝2，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC＝2，求二面角A－PB－E的平面角的大小． (1) 【解答】 由eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝0，PD⊥平面ABCD，得PD⊥DA，PD⊥DC，AD⊥DC，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图(2)．因为AD＝AB＝2，PD＝2EC＝2，所以A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0,2)，E(0,2,1)，eq \o(PB,\s\up16(→))＝(2,2，－2)，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(0,2,0)，eq \o(BE,\s\up16(→))＝(－2,0,1)．设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，由 (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m·\o(PB,\s\up16(→))＝2x＋2y－2z＝0，,m·\o(AB,\s\up16(→))＝2y＝0，))取z＝1，得m＝(1,0,1)．设平面PEB的法向量为n＝(a，b，c)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up16(→))＝2a＋2b－2c＝0，,n·\o(BE,\s\up16(→))＝－2a＋c＝0，))取c＝2，得n＝(1,1,2)．由图可知该二面角的平面角为钝角，因为cos〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(3,\r(2)×\r(6))＝eq \f(\r(3),2)，所以二面角A－PB－E的平面角的大小为eq \f(5π,6). 　如图(1)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，求平面ECF与平面ABCD所成角的余弦值． (1) 【解答】 以A为原点，eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图(2)．设正方体的棱长为2，则A(0,0,0)，E(2,0,1)，F(0,2,1)，C(2，2,0)，所以eq \o(CE,\s\up16(→))＝(0，－2,1)，eq \o(CF,\s\up16(→))＝(－2,0,1)．设平面ECF的法向量为n＝(x，y，z)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(CE,\s\up16(→))＝－2y＋z＝0，,n·\o(CF,\s\up16(→))＝－2x＋z＝0，))取z＝2，得n＝(1,1,2)，所以平面ECF的一个法向量为n＝(1,1,2)．设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ，因为m＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m|·|n|)＝eq \f(|2|,\r(1)×\r(6))＝eq \f(\r(6),3). 已知二面角的平面角为θ，对应两平面的法向量分别为m，n，常根据图形判断二面角θ的取值范围．若θ为锐角，则cosθ＝|cos〈m，n〉|；若θ为钝角，则cosθ＝ －|cos〈m，n〉|. 类型2　已知二面角求其他 　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E为A1D1的中点，直线B1C1交平面CDE于点F. (1) 求证：F为B1C1的中点； 【解答】 如图(1)，取B1C1的中点F1，连接DE，EF1，F1C，由于ABCD－A1B1C1D1为正方体，E，F1分别为A1D1, B1C1的中点，故EF1∥CD，从而E，F1，C，D四点共面，所以平面CDE即平面CDEF1，据此可得，直线B1C1交平面CDE于点F1.当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F1重