1.4 第4课时 用空间向量研究距离问题-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 第4课时 用空间向量研究距离问题 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 素养养成·学透教材 B B 课堂评价·及时反馈 C A AB Thank you for watching 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 学习 目标 1. 掌握用空间向量求点到直线的距离公式． 2. 掌握用空间向量求点到平面的距离公式. 类型1　空间中点到直线的距离 　(P34例6(1)补充)如图(1)，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． (1) 【解答】 以B为原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A1(4，0,1)，C1(0,3,1)，eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量为eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝(－4,3,0)，则点B到直线A1C1的距离为d＝eq \r(|\o(BC1,\s\up16(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up16(→))·\f(\o(A1C1,\s\up16(→)),|\o(A1C1,\s\up16(→)|)))2))＝eq \r(10－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))2)＝eq \f(13,5). (2) 　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，若E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A. eq \f(6\r(5),5) B. eq \f(4\r(5),5) C. eq \f(2\r(5),5) D. eq \f(\r(5),5) 【解析】 如图，以eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(BB1,\s\up16(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz，则eq \o(BA,\s\up16(→))＝(0,2,0)，eq \o(BE,\s\up16(→))＝(0,1,2)，所以cos〈eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(BE,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(BA,\s\up16(→))·\o(BE,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))||\o(BE,\s\up16(→))|)＝eq \f(2,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，所以sin〈eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(BE,\s\up16(→))〉＝eq \f(2\r(5),5)，所以点A到直线BE的距离为d＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|sin〈eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(BE,\s\up16(→))〉＝eq \f(4\r(5),5). 求直线外一点P到直线l的距离： 方法一：先确定直线l上一点B和直线的方向向量n，再利用点P到直线l的距离公式d＝|eq \o(PB,\s\up16(→))|eq \r(1－cos2〈\o(PB,\s\up16(→))，n〉)进行计算； 方法二：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设向量eq \o(AP,\s\up16(→))＝a在直线l上的投影向量为eq \o(AQ,\s\up16(→))＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为eq \r(|\o(AP,\s\up16(→))|2－|\o(AQ,\s\up16(→))|2)＝eq \r(a2－a·u2)(如图)． 类型2　空间中点到平面的距离 　(P34例6(2)补充)若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为(　　) A. eq \f(\r(3),2) B. eq \f(\r(2),4) C. eq \f(1,2) D. eq \f(\r(3),3) 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,0)，A(1，0,1)，B(1，1,1)，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C1(0,1,0)，则eq \o(D1A,\s\up16(→))＝(1,0,1)，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(0,1,0)，eq \o(OC1,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\