4.4 数学归纳法-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4　数学归纳法 【考点梳理】 考点一　数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． 【题型归纳】 题型一：数学归纳法证明恒等式 1．（2022·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2021·全国·高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)． 3．（2019·河南·南阳中学高二阶段练习（理））已知，，使等式对都成立， （1）猜测，，的值； （2）用数学归纳法证明你的结论. 题型二：数学归纳法证明整除问题 4．（2021·河南·高二阶段练习（理））用两种方法证明：能被49整除． 5．（2018·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明： (1)能被264整除； (2)能被整除（其中n，a为正整数） 6．（2017·江苏南通·高二期中）用数学归纳法证明：（）能被9整除. 题型三：数学归纳法证明数列问题 7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题． (1)求，，，并猜想的通项公式； (2)证明（1）中的猜想． 8．（2022·全国·高二课时练习）设数列满足，，且． (1)计算，，猜测的通项公式，并加以证明． (2)求证：． 9．（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且. (1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法加以证明. 题型四：数学归纳法证明不等式 10．（2021·全国·高二单元测试）在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列.记. （1）求数列和的通项； （2）当时，比较与大小并证明结论. 11．（2019·山西吕梁·高二期末（理））给出下列不等式： ，，，， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 12．（2019·江苏常州·高二期中（理））（1）是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由. （2）求证：对任意的，. 【双基达标】 一、单选题 13．（2022·上海市松江区第四中学高二期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 14．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（    ） A． B． C． D． 15．（2022·陕西西安·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（    ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 16．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（    ） A．假设时命题成立 B．假设时命题成立 C．假设时命题成立 D．假设时命题成立 17．（2022·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足． (1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 18．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【高分突破】 一：单选题 19．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（    ） A．2k﹣1