4.2.1 等差数列的概念-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1　等差数列的概念 【考点梳理】 考点一　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 考点二　等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 考点三　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 考点四　从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 等差数列的性质 考点一　等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 考点二　等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 【题型归纳】 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 1．（2022·福建省龙岩第一中学高二）已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·河南郑州·高二）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 3．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知数列满足，则满足的的最大取值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2022·江苏盐城·高二期中）已知是等差数列，且，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）在等差数列中，，，则的值为（    ） A．33 B．30 C．27 D．24 6．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）等差数列的公差，数列的前项和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型三：等差中项及应用 7．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（    ） A．24 B．32 C．48 D．96 9．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知等差数列的前三项分别为，，，则此数列的第四项为（    ） A．12 B．13 C．10 D．15 题型四：等差数列性质的应用 10．（2022·新疆·乌鲁木齐市高级中学高二期中）已知数列为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．15 D．24 11．（2022·重庆长寿·高二期末）在等差数列中，，则的值是（      ） A．36 B．48 C．72 D．24 12．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列，都是等差数列，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型五：等差数列的应用 13．（2022·浙江·杭州市余杭中学高二期中）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ） A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺 14．（2022·全国·高二）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡