8 第一章 3．1　不等式的性质（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 [学习目标]　1．掌握不等式的性质，培养学生数学抽象的核心素养．2．进一步掌握作差比较法比较实数的大小，提升数学运算的核心素养．3．能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围，强化逻辑推理的核心素养． 知识点一　实数大小比较的基本事实 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． (1)已知a1<a2，b1<b2，试比较a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小； (2)已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小． 解析：　(1)两代数式作差得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)． ∵a1<a2，b1<b2，∴(a1－a2)(b1－b2)>0， ∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1． (2)两代数式作差得－(1＋a)＝． ①当a＝0时，∵＝0， ∴＝1＋a． ②当a<1，且a≠0时，∵>0，∴>1＋a． ③当a>1时，∵<0，∴<1＋a． 综上，当a＝0时，＝1＋a； 当a<1且a≠0时，>1＋a； 当a>1时，<1＋a． 方法技巧 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个代数式作差． (2)变形：对差进行变形． (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． (4)作出结论． 这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→判断差的符号→作出结论． 变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化． 即时练1．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解析：　(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)． ∵x<1，∴x－1<0． 又＋>0， ∴(x－1)<0． 即x3－1<2x2－2x． 即时练2．已知a>0，试比较a与的大小． 解析：　∵a－＝＝， 又∵a>0， ∴当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<． 综上，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<． 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的 符号 a>b，c<0⇒ac<bc 4 同向可 加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 不可逆 5 同向正值 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； a>b>0，c<d<0⇒ac<bd 不可逆 6 可开方性 a>b>0⇒> n∈N＋，n≥2 (1)已知b<2a，3d<c，则下列不等式一定成立的是(　　) A．2a－c>b－3d B．2ac>3bd C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c (2)若c>a>b>0，求证：>． 解析：　(1)由于b<2a，3d<c，则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故选C． (2)证明：因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b． 因为c>a，所以c－a>0．所以0<c－a<c－b． 上式两边同乘，得>>0． 又因为a>b>0，所以>． 答案：　(1)C 方法技巧 1．运用不等式的性质判断命题的真假时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其不能随意捏造性质． 2．应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导． 即时练3．已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题正确的是(　　) A．如果a>b，那么> B．如果ac<bc，那么a<b C．如果a>b，那么< D．如果a>b，那么> D　[利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A，B，C中的条件．对于A，有<，故A错误．对于B，有a>b，故B错误．对于C，有>，故C错误．对于D，∵c≠0，∴>0，由不等式的性质3知，D正确．] 即时练4．(1)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>； (2)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy． 证明：　(1)∵c<d<0，∴－c>－d>0． 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0． ∴(a－c)2>(b－d)2>0，∴0<<． 又∵e<0，∴>． (2)要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证明－－≤xy－x－y， 只需证明(1－)(1－)≤(1－x)(1－y)＝(x－1)(y－1)， 只需证明1－≤x－1，1－≤y－1， 即证x＋≥2，y＋≥2，(x≥1，y≥1)这是均值不等式，所以原不等式成立． 用不等式的性质求代数式的取值范围 (1)已知1<a<4，2<b<8，求2a＋3b与a－b的取值范围； (2)已知1<a<4