6 第一章 2.1 第2课时　充要条件（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

第2课时　充要条件 [学习目标]　1．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系，培养数学抽象的核心素养．2．会对某些命题的充要条件进行证明，培养逻辑推理的核心素养． 知识点一　充要条件 一般地，如果p⇒q且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件，记为p⇔q． q与p还有以下三种逻辑关系： (1)若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件． (2)若p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 先将下列各题中p、q用符号“⇒，⇏或⇔”连接，再判断各题中p是q的什么条件？ (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (4)p：x<3，q：－1<x<3． 解析：　(1)p⇒q且q⇏p，p是q的充分不必要条件． (2)p⇏q且q⇒p，p是q的必要不充分条件． (3)p⇔q，p是q的充要条件． (4)p⇏q且q⇒p，p是q的必要不充分条件． 方法技巧 充要条件的判断方法 (1)定义法：若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； (2)集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p是q的充要条件． 即时练1．x∈A是x∈A∩B的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若x∈A，则不一定有x∈A∩B，充分性不成立，反过来，若x∈A∩B，则一定有x∈A，必要性成立，所以x∈A是x∈A∩B的必要不充分条件．故选B．] 即时练2．“a>0，b<0”是“<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若a>0，b<0，则ab<0，所以<0，故充分性成立； 若<0，则ab<0，则a>0，b<0和a<0，b>0两种情况，故必要性不成立．故选A．] 知识点二　充要条件的应用与证明 p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2<x<a}，则“A∩B≠∅”的一个充要条件是(　　) A．a>－2 B．a≥－2 C．a>－1 D．a>1 C　[由x2－x－2<0，解得－1<x<2， ∴A＝{x|－1<x<2}，又B＝{x|－2<x<a}， 故A∩B≠∅的等价条件为a>－1， 则“A∩B≠∅”的一个充要条件是a>－1．] 方法技巧 探求充要条件的方法 探求一个命题成立的充要条件一般有以下两种方法． (1)等价转化法：将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，探求的过程，同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． (2)非等价转化法：先探求出结论的必要条件，然后务必证明该条件也是结论的充分条件，方可得出结论的充要条件． 即时练3．“若x∈[1，2]，则ax2＋1≤0恒成立”为真命题的充要条件是(　　) A．a≤－1 B．a≤－ C．a≤－2 D．a≤0 A　[∵x∈[1，2]，ax2＋1≤0恒成立， ∴ax2≤－1，∴a<0， ∵x∈[1，2]，∴ax2∈[4a，a]， ∴a≤－1， ∴由x∈[1，2]，ax2＋1≤0恒成立得a≤－1， 易知当a≤－1，x∈[1，2]时，ax2＋1≤0恒成立． ∴“若x∈[1，2]，则ax2＋1≤0恒成立”为真命题的充要条件是a≤－1．] 设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0． 证明：　充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b， 代入方程ax2＋bx＋c＝0得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0． ∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1； 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， ∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0． 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件为a＋b＋c＝0． 方法技巧 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的． [提醒]　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向． 即时练4．求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q<0． 证明：　①充分性： 因为q<0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q>0， 故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的