5 第一章 2.1 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 [学习目标]　1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养数学抽象的核心素养．2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，培养数学抽象的核心素养．3．会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件，强化逻辑推理的核心素养． 知识点一　命题的概念 1．命题概念：可以判断真假，用文字或符号表述的的陈述句叫做命题． 2．命题形式：一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式．当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论．当“若p，则q”是真命题时，就说由p可以推出q，记作p⇒q． 下列命题是真命题的是(　　) A．如果a与b互为相反数，那么＝－1 B．a，b∈R，方程ax＋b＝0最多有一个实数根 C．n为任意一个自然数，则n2>n D．任何两个无理数之间都有一个有理数 D　[对于A选项，当a＝b＝0时，满足a与b互为相反数，不满足＝－1，故A选项错误； 对于B选项，当a＝b＝0时，方程ax＋b＝0有无数个实数根，故错误； 对于C选项，当n＝0，不满足n2>n，故错误； 对于D选项，任何两个无理数之间都有一个有理数，正确．故选D．] 方法技巧 判断一个命题是真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题可举反例． 即时练1．判断下列命题的真假： (1)“若a≠3且b≠4，则a＋b≠7”是________命题； (2)“若m，n都是偶数，则(－1)m＋n＝1”是________命题； (3)“如果a＋b>0且ab>0，那么a>0且b>0”是________命题． 解析：　(1)取a＝1，b＝6满足“a≠3且b≠4”，则a＋b＝7，不满足“a＋b≠7”．所以原命题为假命题； (2)因为m，n都是偶数，所以m＋n为偶数， 所以(－1)m＋n＝1．所以原命题为真命题； (3)因为ab>0，所以a、b同号，而a＋b>0，所以a>0且b>0．所以原命题为真命题． 答案：　假　真　真 即时练2．用符号“⇒”与“⇏”填空： ①x2>1________x>1．　②a，b都是偶数________a＋b是偶数． 答案：　①⇏　②⇒ 知识点二　必要条件与性质定理 必要条件：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． (链接教材P15练习2)下列命题中，q是p的必要条件的是________． ①p：x＋y>5，q：x>2且y>3； ②p：四边形是正方形，q：四边形的四个角都相等． ③p：x－1>0，q：x2－1>0 解析：　①由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故q不是p的必要条件． ②由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故q是p的必要条件． ③由x－1>0解得x>1，所以x2－1>0成立，故q是p的必要条件． 答案：　②③ 即时练3．指出下列各组命题中，q是p的必要条件吗？ (1)p：|x|>1，q：x>1； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A． 解析：　(1)若p：|x|>1成立，可取x＝－2， q：x>1不成立即p⇏q， 所以q不是p的必要条件． (2)若p：A⊆B；则必有A∩B＝A，即p⇒q，所以q是p的必要条件． 知识点三　充分条件与判定定理 充分条件：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． 已知：①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根； ④p：x∈(－3，0)，q：x∈(－4，1)． 其中p是q的充分条件的序号为________． 解析：　①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0． ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等， ∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0， ∴方程x2－x－m＝0无实根， ∴p是q的充分条件． ④∵(－3，0)(－4，1)， ∴－3<x<0⇒－4<x<1， ∴p是q的充分条件． 答案：　③④ 方法技巧 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法： (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}，及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度． (3)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同