2 第一章 1．2　集合的基本关系（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

1．2　集合的基本关系 [学习目标]　1．了解集合之间包含与相等的含义，培养学生数学抽象的核心素养．2．能识别给定集合的子集，培养学生数学抽象的核心素养．3．能使用Venn图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，提升直观想象的核心素养．4．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想． 知识点一　子集与集合相等 1．子集 (1)定义：一般地，对于两个集合A，B，如果对任意x∈A，都有x∈B，则称集合A为集合B的子集，记作：A⊆B或B⊇A，读作：A包含于B或B包含A； (2)图示：如下Venn图所示，则集合A、B的关系是A⊆B． 2．子集有关性质 (1)∅⊆A，A⊆A； (2)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C； (3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B(称集合A与集合B相等)． 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x∈Z|－1<x<4}，B＝{x∈N|x－4<0}． 解析：　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合A＝{x∈Z|－1<x<4}＝{0，1，2，3}，B＝{x∈N|x－4<0}＝{0，1，2，3}， 两个集合的元素完全一样，所以A＝B． 方法技巧 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 ①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B． ②若既有A⊆B, 又有B⊆A，则A＝B． (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 即时练1．(多选)已知集合M＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有(　　) A．3∈M B．{－3}∈M C．{3，－3}＝M D．{3，－3}⊆M ACD　[根据题意，集合M＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个选项； 对于A，3∈M，3是集合M的元素，正确； 对于B，{－3}是集合，有{－3}⊆M，错误； 对于C，{3，－3}＝M，两个集合的元素完全一致，正确； 对于D，{3，－3}⊆M，任何集合都是其本身的子集，正确．故选ACD．] 知识点二　真子集 1．定义：对于两个集合A与B，如果集合A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA，读作：A真包含于B或B真包含A． 2．图示：如图Venn图所示，则集合A、B的关系是AB． 注意：AB首先要满足A⊆B，其次要满足A≠B． (1)已知集合A＝{x|0≤x<4，x∈N}，则集合A的子集共有________个，其中含有元素0的子集共有________个． (2)已知集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x⊆A}，请用列举法表示集合B＝________________． 答案：　(1)16　8　(2){∅，{0}，{1}，{0，1}} 方法技巧 求集合子集、真子集个数的3个步骤 即时练2．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N*，y∈N}．写出集合A的所有的子集． 解析：　集合A＝{(1，1)，(2，0)}． 所以A的子集有：∅，{(1，1)}，{(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． 即时练3．适合条件{1}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合A的个数有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．15 B．16 C．31 D．32 B　[由题可知，集合A中必有元素1，若排除三个集合中的元素1，则该集合关系变为A1⊆{2，3，4，5}，则A1的个数为24＝16个．故选B．] 由集合间的关系求参数 这类问题通常有两种题型： (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． [注意]　(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．若B⊆A，求m的取值范围． 解析：　①当B＝∅时，m－1≥2m＋1，即m≤－2． ②当B≠∅时，若B⊆A， 则⇒－1≤m≤2． 综上所述，知m的取值范围是{m|－1≤m≤2或m≤－2}． 已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解析：　A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}， ∵B⊆A， ∴B＝∅或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}． (1)当B＝∅时， 方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实根， 则Δ<0，即4(a＋1)2－4(a2－1)<0． ∴a<－1． (2)当B＝{0}时， 有