1 第一章 1．1　集合的概念与表示（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

§1　集合 1．1　集合的概念与表示 [学习目标]　1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，培养学生的数学抽象核心素养．2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，提升数学抽象核心素养．3．会用列举法、描述法表示集合，强化数学抽象核心素养． 知识点一　集合的含义 1．元素与集合的概念 (1)集合：把指定的某些对象的全体称为集合． (2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 2022年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)你所在班级中的全体同学； (2)班级中比较高的同学； (3)班级中身高超过178 cm的同学； (4)班级中比较胖的同学． 解析：　(1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． 方法技巧 判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性： 负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性： 负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 即时练1．(多选)下列各组对象能构成集合的是(　　) A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 ACD　[B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，显然A，C，D选项中能构成集合，故选ACD．] 知识点二　元素与集合的关系 1．元素与集合的表示 (1)元素表示：通常用小写英文字母a，b，c，…表示元素． (2)集合表示：通常用大写英文字母A，B，C，…表示集合． 2．元素与集合的关系 (1)属于：若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A； (2)不属于：若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A． 3．常用数集及符号表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R (链接教材P5练习T2)(1)用“∈”或“∉”填空： ______N；－3______Z；______Q；0______N*；______R． (2)已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________． 解析：　(2)若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1．当a＝1时，a2＝1不满足元素的互异性，当a＝－1时，满足题意，故a＝－1． 答案：　(1)∉　∈　∉　∉　∈　(2)－1 方法技巧 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．即时练2．设不等式a－2x<0的解集为M，若1∉M，2∈M，则实数a的取值范围是____________． 解析：　∵M＝{x|a－2x＜0}＝{x|x＞}，又∵1∉M，2∈M，∴1≤，2＞，解得2≤a＜4． 答案：　2≤a<4 即时练3．若集合A中有三个元素x，x－x2，x2，且1∈A，求实数x的值． 解析：　因为1∈A， 所以当x＝1时，x2＝1，舍去； 当x－x2＝1时，x2－x＋1＝0无解，舍去； 当x2＝1，解得x＝±1(舍去1)，而x＝－1适合， 所以x＝－1． 知识点三　集合的表示 1．列举法：把集合的元素一一列举出来写在花括号“{_}”内表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．具体方法是：在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线，在其后写出集合中元素所具有的共同特征． 用列举法表示下列集合： (1)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合． 解析：　(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}． (2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 解析：　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． (2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 方法技巧 利用描述法表示集合应关注两点 (1)写清楚该集