专题4.1 数列的函数特征（4类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.1 数列的函数特征 【考点1：数列的周期性】 1 【考点2：数列的单调性】 4 【考点3：数列的最大（小）项】 8 【考点4：数列中的恒成立问题】 12 【考点1：数列的周期性】 【知识点：数列的周期性】 周期数列的常见形式与解题方法 (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 1. (2022·黄冈质检)已知数列{xn}满足xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，且xn＋3＝xn对于任意的正整数n均成立，则数列{xn}的前2 017项和S2 017＝(　　) A．672 B．673 C．1 342 D．1 345 解：∵x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，∴x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，∴x1＋x2＋x3＝1＋a＋(1－a)＝2，又xn＋3＝xn对于任意的正整数n均成立，∴数列{xn}的周期为3，所以数列{xn}的前2 017项和S2 017＝S672×3＋1＝672×2＋1＝1 345.故选D. 2. (2022·广东四校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018＝(　　) A．－2 B．－1 C．2 D． 解：数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2 018＝a672×3＋2＝a2＝－1.故选B. 3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2022＝(　　) A．0 B．2 022 C．1012 D．1011 解析：选C　由a1＝1及an＋1－an＝sin，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin＝0，a5＝a4＋sin＝1，a6＝a5＋sin＝1，a7＝a6＋sin＝0，a8＝a7＋sin＝0，…，可见数列{an}为周期数列，周期T＝4，所以S2022＝505(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝1 012. 4．数列 {an}满足 an＋1＝ , a8＝2，则a1 ＝________. 解析：将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝. 5．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由递推公式可得数列是的周期数列，从而得解. 【详解】，且， ，， ， ， 所以数列是的周期数列， 所以. 故选：A 6．（2022·吉林吉林·高三阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2023项的乘积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题知数列是以为首项，周期为4的一个周期数列，再根据周期性求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，周期为4的一个周期数列， 因为， 所以，，， 所以， 所以. 故选：D 7．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）已知数列中，，，则___________. 【答案】 【分析】推导出数列为周期数列，且周期为，利用数列的周期性可求得的值. 【详解】由已知可得，，，，， 且， 故数列为周期数列，且周期为， 所以，. 故答案为：. 8．（2020·山东·青岛二中高三期中）已知数列满足,,,则______. 【答案】0 【分析】根据题意多写出几项,发现规律,找到周期,求出和即可. 【详解】解:由题知,∵,,, ∴, 同理可得,,,,, ∴数列为以6为周期的周期数列, . 故答案为:0 9．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））若表示整数的个位数字，，数列的前项和为，则______. 【答案】1012 【分析】根据题意可推得为周期数列，求得其周期为10，计算出，求得，即可求得的值. 【详解】由题意知表示正整数n的个位数字, 因为，与的个位数字均为0， 所以 ， 因为，20的个位数字为0， 所以， ， 即数列为周期性数列，且周期为10， 所以 ， 因为，， ， ，，， ，，， ， 则， 故， 故答案为：1012. 【考点2：数列的单调性】 【知识点：数列的单调性】 (1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其