5.2导数的运算（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

5.2导数的运算 （基础知识+基本题型） 知识点一 几个常用函数的导数 1．函数（为常数）的导数为． 表示函数图象上每一点处的切线的斜率都为0，若表示路程关于时间的函数，则可解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数的导数为． 表示函数图象上每一点处的切线的斜率都为1． 若表示路程关于时间的函数，则可解释为某物体的瞬时速度为1的匀速直线运动． 3．函数的导数为． 表示函数图象上点处的斜率都为说明随着的变化，切线的斜率也在变化． 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为． 4．函数的导数为． 5．函数的导数为． 知识点二 基本初等函数的导数公式 ⑴若 (c为常数），则； ⑵若，则； ⑶若，则； ⑷若，则； ⑸若，则； ⑹若，则； ⑺若，则 (8)若，则 提示 （1)上述求导公式可分为四类，其中，（1)(2)属于幂 函数；（3) (4)属于三角函数；（5) (6)属于指数函数； (7)(8)属于对数函数.应用上述公式进行求导时不必再用定义去推导，可直接应用. (2)上述公式的特点 ①常数函数的导数为零； ②幂函数求导降次； ③指数函数的导数仍然为指数型函数； ④对数函数的导数是有理函数； ⑤正弦函数和余弦函数的导数分别为余弦函数和 正弦型函数，且余弦函数的导数带负号. （3)指数函数、对数函数的导数公式的记忆比较困难，其中是在时的特殊情况，是在时的特殊情况，记忆时要从形式上进行对比，特别注意的位置不要弄混，另外，还要借助换底公式来记忆： . 知识点三 导数运算法则 法 则 语言叙述 两个函数的和（差）的导数•等 于这两个函数的导数的和（差） 两个函数的积的导数，等于第 一个函数的导数乘第二个函 数.再加上第一个函数乘第二 个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分 子的导数乘分母减去分子乘分 母的导数，再除以分母的平方 知识点四 复合函致的导数 1. 一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2． 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对，的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 提示 （1）复合函数求导法则可以简单叙述成：复合函数对自变导数等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数（即由表及里逐层求导） （2）复合函数求导法则可推广到三个或三以上的函数相复合，如 若，则. (3) 复合函数求导的步骤 ① 分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（筒称分解复合关系）； ② 分层求导，弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导（筒称分层求导）； ③ 将中间变量回代为自变量的函数（简称回代）. 考点一 导数公式及导数运算法则求导 例1 下列求导运算中正确的个数是 ①； ②； ③； ④. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：因为，所以①不正确.； 因为，所以.②正确； 因为是常数，所以，所以③不正确. 因为，所以④不正确. 答案：B 总结：要正确理解导数公式及导数运算法则，不要盲目套用，否则会出现这样的错误，对公式的记忆也要准确牢固，避免出现运算错误. 例2 求下列函数的导效： (l)； (2) ； (3) 解：(l)方法1： 方法2：因为， 所以 (2) 方法1： 方法2：因为，所以 (3) 方法1：设，则. 方法1：因为 所以 对较复杂的函数求导时，应尽量减少乘积的运算法则，以避免出现符号和运算错误.为此，我们就需要对式子进行适当的变形或化简，再求导.例如，三角函数可以先利用三角恒等变换进行化简；对数函数的真数是指数或或根式时.可先用对数的运算性质把真数转化为有理式或整式.再求导. 考点二 导数运算的应用 例3 函数，则 A.0 B.1 C.2014 D. 解析： 故. 答案：D 总结：灵活运用导数的运算法则，把看作一个整体，化繁为简.求时，不必再求的值，更容易得出结果. 例4 已知函数为的导函数.为的导函数，求. 分析：利用，令，即可解出，进而求得，从而求得. 解：因为 令，得， 所以 所以 . 故，所以 本题考查了求导公式的应用及特珠角的三角函数值，求出的值是解题的关键步骤. 例5 若函数，且为奇函数 (1)求的值； (2)求的导数. 分析：首先根据复合函数求导法则得出，然后由三角函数的性质求得参数的值. 解：(1) 因为，为奇函数，所以. (2)由(1)，知，令.则 ‘ 故的导数为. 复合函数求导先要分清复合层次，再从外向内逐层求导.当内层函数是简单的一次函数(如)时，不要忘记时内层函数的求导. 考点三 导数的综合应用 例6 设函数，，曲线在点处的切线方程为. (1)