5.1导数的概念及其意义（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1导数的概念及其意义 （基础知识+基本题型） 知识点一 平均变化率与平均速度 1． 定义：一般地，对于函数，，是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数从到的平均变化率． 2．平均变化率的另一种表示 习惯上用表示，即，可把看作是相对于的一个“增量”，可用代替：类似地，．于是平均变化率可以表示为． 拓展 函数的平均变化率中的各元素及其关系 （1）对和的解释： 是附近的任意一点，是变量在处的改变量，故的值可以为正，也可以为负，但不能取0．的值可以取0，如当函数为常数函数时，． （2）与的对应关系： 注意与是相对应的“增量”，在公式中，若，则；若，则． （3）和对的影响： 在公式中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率是不完全相同的；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也是不完全相同的． （4）的几何意义 函数的平均变化率表示函数图象上，两点连线的斜率． 知识点二 瞬时速度 1． 定义：做变速运动的物体在不同时刻的速度是不完全相同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2． 数学语言：设物体运动的位移与时间的关系是，当趋近于0时，函数从到的平均变化率趋近于一个常数，我们就把这个常数称为物体在时刻的瞬时速度，瞬时速度一般用表示． 提示 对瞬时速度的理解，需注意一下几点： （1）趋近于0是指时间间隔越来越小，但始终不为0； （2）当趋近于0时，的值也趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数； （3）瞬时速度就是平均速度在趋近于0时的一个确定的值． 知识点三 函数在某一点处的导数 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即． 警示 （1）是自变量在处的该变量，可正、可负，但不能为0．当（或）时，表示从的右（或做）边趋近于．是相应的函数值的该变量，可正、可负，也可为0． （2）函数在处的导数是一个常数，不是一个变量． 知识点四 导数的几何意义 如图，函数的图象是一段曲线，当点沿着曲线趋近于点时，割线的斜率无限趋近于切线的斜率． 因此，函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率，即． 提示 （1）函数在点处的导数的几何意义是曲线在这一点处的切线的斜率．不存在，并不能说明在这一点出不存在切线，而是说明在这一点出的切线斜率不存在，如存在某点，使过该点的切线垂直于轴，因此函数在某点可导是相应由线上过该点存在切线的充分不必要条件． （2）由导数的几何意义，知（为切线的倾斜角），若，则切线的倾斜角为锐角；若，则切线的倾斜角为钝角；若，则切线与轴平行或重合． 知识点五 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程的步骤： （1）求出函数在处的导数，即切线的斜率； （2）利用点斜式，得出切线方程． 警示 “过某点”与“在某点处”的切线是不同的．“过某点”的切线表明此点不一定是切点，即使此点是切点，也不一定是唯一的切点；“在某点处”的切线表明此点一定是切点． 知识点六 导函数 已知函数，当时，是一个确定的数．这样，当变化时，便是的一个函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时记作，即． 辨析 “函数在某点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别和联系： （1）“函数在某点处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量． （2）“导函数”简称“导数”，当变化时，便是的一个函数，我们称它为导函数，是一个变量． （3）函数在处的导数就是导函数在处的函数值，即，所以求函数在某点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值． 考点一 求函数的平均变化率 例1．已知函数． （1）计算从到的平均变化率，其中的值分别为①2，②1，③0．1，④0．01； （2）当的值越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：（1）从到的平均变化率为．⒈ ①当时，函数在上的平均变化率为4+2=6． ②当时，函数在上的平均变化率为4+1=5． ③当时，函数在上的平均变化率为4+0．1=4．1． ④当时，函数在上的平均变化率为4+0．01=4．01． (2)由（1）中的结果可以看出，当的值越来越小时，函数在区间上的平均变化率越来越趋近于常数4．⒉ 例2．已知函数，求函数在附近的平均变化率． 解：因为，所以 即 所以 考点二 瞬时速度的求法及应用 例3．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么烟花冲出后多长时间达到最高点？ 解：设烟花达到最高点时的时刻为，根据瞬时速度的定义，知 ． 故瞬时速度为．⒈ 令，⒉ 得． 故烟花冲出1．5后达到最高点． 例4．已知质点按规律（的单位：的单位：）做直线