第五章 微专题一　曲线问题的两类典型问题（教师用书）-2022-2023学年新教材高中物理必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教版2019）

( t 2 ) ( 2 )＝1 a 2 ＝1 h，水平位移为 x′＝1 4 2 v0t＝1 2 x，则t 2 时间内猴子对地的位移大小为 s′＝ x′2＋h′2 ＝1 4 4x2＋h2 ，D 正确。 12．飞机在航行时，它的航线方向要严格地遵守从东到西，如果飞机的速度是 160 km/h， 风从南面吹来，风的速度为 80 km/h，那么： (1)飞机应朝哪个方向飞行？ (2)如果所测地区长达 80 3 km，飞机飞过所测地区所需时间是多少？ 解析： (1)根据平行四边形定则可确定飞机的航向，如图所示， 有 sin θ＝v 风 v 机 ＝ 80 160 ＝1 ，θ＝30°，即朝西偏南 30°角飞行； 2 (2)飞机的合速度 v＝v cos 30°＝80 3 km/h，所需时间 t＝x ( 机 )v ＝1 h。 答案：(1)西偏南 30°角飞行 (2)1 h ( 微专题一：曲线运动的两类典型问题 ) 类型一 | 小船渡河问题 1. 模型条件 (1) 小船同时参与两个匀速直线运动。 (2) 一个分运动(水的运动)速度大小和方向保持不变，另一个分运动(船在静水中的运动) 速度大小不变，方向可在一定范围内变化。 2. 模型特点 (1) 船的实际运动是水流的运动和船相对于静水的运动的合运动。 (2) 三种速度：船在静水中的速度 v1、水的流速 v2、船的实际速度 v。 (3) 两种情景 ①过河时间最短 ( ＝ ) ( 短 )如图，船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间 t d (d 为河宽)。 v1 ②过河路径最短 v2<v1 时：如图，合速度垂直于河岸，航程最短，x 短＝d。 v2>v1 时：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。确定方法如下：如图，以 v2 矢量末端为圆心，以 v1 矢量的大小为半径画弧，从 v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度 沿此切线方向航程最短。由图可知 sin θ＝v1 v2 ，最短航程 x ＝ d ( 短 )sin θ ＝v2 d 。v1 [例 1] 如图所示，一条宽为 d 的大河，小明驾着小船从码头 A 出发，欲将一批货物运送到对岸的码头 B。已知河水流速为 v 水，小船在静水中的航速为 v 船。 (1) 小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？ (2)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？ 解析：(1)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示， ( ＝ ) ( 短 )则有 t d ， v 船 此时船渡河的位移 x＝ d ， sin θ 位移方向满足 tan θ＝v 船 ， v 水 故船头垂直河岸航行渡河时间最短，最短时间为 d v 船 ，位移为d v 船 2＋v 水 2 。 v 船 (2) 第一种情况：船速大于水速，最小位移为河宽 d，此时合速度垂直河岸，船头与上游河岸夹角θ满足 v 船cos θ＝v 水， 如图所示， 所用时间为 t＝ d ， v 船sin θ 第二种情况：船速小于水速，如图所示， 以 v 水矢量的末端为圆心，以 v 船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速 ( ＝ )度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短，由图可知 sin α v 船 v 水 ( ＝ )最短航程为 x＝ d sin α v 水 d， v 船 此时船头指向与上游河岸夹角满足 cos θ′ v 船 ＝ v 水 故当船速大于水速，船头与上游河岸夹角满足 v 船cos θ＝v 水时，渡河位移最小，为 d， 当船速小于水速，船头与上游河岸夹角满足 cos θ′ v 船 时，渡河位移最小，为 v 水 d。 ＝ v 水 v 船 答案：(1)船头垂直河岸航行渡河时间最短 ( d v 船 2 ＋ v 水 2 ) d v 船 v 船 (2)见解析 【名师点拨】 研究小船渡河问题的思路 (1) 研究小船渡河时间时→应用 v 船垂直于河岸的分速度求解，与 v 水的大小无关。 (2) 分析小船速度时→可画出小船的速度分解图进行分析。 (3) 研究小船渡河位移时→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。 [训练] 1.《西游记》中，一只大龟浮水作舟，驮着唐僧师徒四人和白龙马渡过了通天河。假设大龟在静水中游动的速度大小与河水的流速大小之比为 4∶1，出发点 A 到正对岸 B 点的距离为 d，河岸平直，若大龟以最短的时间渡河，则大龟上岸的地点与点 B 的距离为( ) A．d 4 B．d 2 C．2d D．4d 解析：选 A。设大龟在静水中游动的速度大小与河水的流速大小分别为 4v 和 v，以最 短时间渡河，大龟的速度方向应正对河岸，渡河时间 t＝ d 4v ，那么大龟在水