4.2.2 等差数列的综合应用-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.2 等差数列的综合应用 1定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 2 等差中项 若成等差数列，则称与的等差中项，则. 3通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 4 前项和 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 (由倒序相加法可证) 5 证明一个数列是等差数列的方法 ① 定义法： 是常数，是等差数列； ② 中项法： 是等差数列； ③ 通项公式法： 是常数) 是等差数列； ④ 前项和公式法： 是常数)是等差数列； 注：方法③④不可以在解答题里直接使用. 6 基本性质(其中 若数列是首项为，公差为的等差数列，它具有以下性质： 若, 则； ； ； 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列； 数列(是常数)是公差是的等差数列； 若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列； 成等差数列； . 【题型1】 等差数列的基本运算 【典题1】 等差数列的前项和为，已知，．则的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析 设等差数列的公差为， ，， ，解得， 故， 当时，，当时，， 故的最小值为． 故选：． 【巩固练习】 1.已知数列是等差数列，其前项和为，且，，若，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案 解析 在等差数列中，设公差为d， 由，，得， 解得． 若，则，解得． 故选：． 2.设等差数列的前项和为，，．若对任意的正整数，都有，则整数(　　) A. B. C. D. 答案 解析 在等差数列中，由，， 得，则， 可得，，且， 若对任意的正整数，都有，则． 故选：． 【题型2】 等差数列的基本性质及运用 【典题1】 等差数列的前项和为，若，，，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. 数列是递减数列 D. 解析 由，则，即， 又，，易知：，故数列是递减数列，故正确； 根据，正确； ，则， 故，故正确； 再根据，故错误， 故选：． 【巩固练习】 1.若是等差数列，且是方程的两个根，则(　　) A. B. C. D. 答案 解析 是方程的两个根， ，又是等差数列， ，即， ． 故选：． 2.已知等差数列中，是方程的两根，则的前项的和为(　　) A. B. C. D. 答案 解析 等差数列中，是方程的两根， ，， 故的前项的和为， 故选：． 3.已知公差非零的等差数列满足，则下列结论正确的是(　　) A. B. 当时， C.当时， D. 答案 解析 公差非零的等差数列满足， ，即，即． ，故不对； 对于选项，时，，， 故该数列为递增等差数列，前项为负数，从第项开始为正数，故最小， 即，故正确； 对于选项，时，，， 故该数列为递减等差数列，前项为正数，从第项开始为负数，故最大， 即，故错误； 当时，，， 而，故错误， 故选：． 4.已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为若，则(　　) A. B. C. D. 答案 解析 ，分别为等差数列、的前项和，， ，故选：． 【题型3】等差数列综合 【典题1】 设数列的前项和为，且． (1)求；(2)求证：数列为等差数列. 解析 (1)解：时，，则； (2)证明：， 则时， ． 即有， 即，即有， 为定值， 则数列为等差数列. 【巩固练习】 1.已知是等差数列，，其前项和． (1)求的通项； (2)求前项和的最大值． 答案 (1) ；(2) . 解析 (1)由题意可得，解得，， ； (2)， 当或时，有最大值，最大值为． 2.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有人，则11月几日，该市感染此病