4.2.2 等差数列的前n项和公式-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.2 等差数列的前项和公式 1前项和 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ， 解析 (1)证明 (1) (2) 两式相加可得， 有等差数列的性质：若， 则； 可得， 故； 又，所以. 以上方法是倒序相加法. (2)等边数列的前项和，可写成， 当时，可看成关于的二次函数. 【例】等差数列中，，则其前项和________. 解析 ；或，. 2 证明一个数列是等差数列的方法 ① 定义法： 是常数，是等差数列； ② 中项法： 是等差数列； ③ 通项公式法： 是常数) 是等差数列； ④ 前项和公式法： 是常数)是等差数列； 注 方法③④不可以在解答题里直接使用. 3 基本性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 成等差数列； 证明 ； 即； 同理； 归纳得证. 例 是一等差数列的前项和，成等差数列. . 证明 . 例 是一等差数列的前项和，，. 【题型1】 等差数列前项和的基本运算 【典题1】 记为等差数列的前项和，若，，则 . 解析 设等差数列的公差为．，， ，解得， . 点拨 本题属于基本量法，是等差数列基本量，遇到用上， 用上. 【典题2】 数列是等差数列，. (1)该数列前多少项都是非负数？(2)求此数列的前项和的最大值． 解析 (1)由， 知. 令，即，解得， 又，则， 即前项都是非负数． (2)方法1 由(1)得， 则的最大值是. 方法2 ， 由二次函数的性质知，当时，取最大值. 点拨 求等差数列前项和的最值，显然当等差数列递减，有最大值，可确定哪项开始为负值，便可知道最大值；当等差数列递增，有最小值，可确定哪项开始为正值，便可知道最小值；方法2是求出的解析式，再利用二次函数的性质求最值. 【典题3】 等差数列中，，前项和为，若，则 . 解析 由等差数列前项和为，则， 显然为等差数列， 设公差为， ，， ，， ，解得． 点拨 等差数列中，前项和为，则为等差数列. 【巩固练习】 1.已知为等差数列，若，则的值为(　　) A． B． C． D． 答案 解析 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以． 故选：． 2.(多选)设数列是等差数列，是其前项和，且，则(　　) A． B． C．或为的最大值 D． 答案 解析 且， ，化为：， 可得． 或为的最大值，． 故选：． 3.已知在等差数列中，，，则最大时　 　． 答案 解析 设等差数列的公差为，，， ，， 化为：， 解得，可得：． 因此等差数列单调递减， ． ， 可得， ，． 则最大时． 【题型2】等差数列前项和的性质 【典题1】 已知两个等差数列，它们的前项和分别记为，若，求. 解析 在等差数列中 ，. 点拨 性质的运用. 【典题2】一个等差数列的前项和为，， ，求． 解析 方法1 设等差数列的公差为，前项和为， 则. 由已知，得，解得， ， 则. 故此数列的前项之和为. 方法2 设此等差数列的前项和为. ， ，解得， . .方法3 数列成等差数列． 设其公差为，则前项的和为，解得， . . 方法4 ， 又. . 点拨 注意比较各种方法的优劣，掌握等差数列的基本性质. 【巩固练习】 1.等差数列的前项和为，若，则的值是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 设等差数列的公差为， ， ，解得， ． 故选：． 2.已知数列为等差数列，为其前项和，，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 ，． 则．故选：． 3.已知等差数列的前项和为，则的值为(　　) A． B． C． D． 答案 解析 由题意可得，①， ，， ②， ①②可得，， ， ，，解得． 故选：． 4.等差数列的前项和分别为 ，若，则( ) A． B． C． D． 答案 解析 ，故选. 5.设是等差数列的前项和，若，则( ) A． B． C． D． 答案 解析 方法一 ，，化简得， .故选. 方法二 ，，令，成等差数列， 成等差数列， 显然这等差数列公差为，所以， 解得，故选. 【题型2】 等差数列前项和的综合 【典题1】 已知等差数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求正整数的范围，使得． 解析 (1)设等差数列的公差为， 则，解得， 故． (2)， 令，即，解得或(舍去)， 故存在正整数，使得成立，的最小值为． 【典题2】 某长江抗洪指挥部接到预报，小时后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外，还需用