4.1 数列的概念2 (递推公式、前n项和)-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.1 数列的概念2 (递推公式、前项和) 1递推公式 若已知数列的第一项(或前项)，且任一项和它的前一项(或前项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 解析 (1) 举例：(初始条件)，(递推关系)； . (2) 通项公式与递推公式的异同 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号，直接用代入法求出该项 都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项 递推公式 可根据第项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项 【例1】你能写出满足数列的一个递推公式么？ 答案 . 【例2】已知数列中，，则等于 . 解 ，. 2 与的关系 若为数列的前项和，即 则. 解析 (1) 若已知列的前项和，可利用公式求数列通项公式， （2）证明 若为数列的前项和，根据定义可得，， ， 故当时，； 当时，由得，即. 【题型1】 递推公式 【典题1】 已知数列满足，写出该数列前项，并归纳出它的一个通项公式． 解析 ， . 故数列的前项分别为. 由于， 故数列的一个通项公式为. 【巩固练习】 1.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是( ) A B． C． D． 答案 解析 根据题意，可得，，，， 发现规律：， 而 故成立， 即 ， 故选：． 2.数列中，，且，则_____. 答案 3.在数列中，已知，等于的个位数，则　． 答案 解析 数列，， ，， 同理可得：，…， 所以数列从第项开始呈现周期性出现，周期为，即， 则. 4.在数列中，，且，则　 　． 答案 解析 由于在数列中，，且， 则，故， 同理得到，所以，故得到, 故答案为. 5.设数列满足，，，通过求猜想的一个通项公式为　 　． 答案 解析 , ，，， 故猜想. 6.已知数列的第一项是，以后各项由公式给出，写出这个数列的前项，并猜下它的一个通项公式(不需要证明)． 答案 ，. 解析 ， ． 又， ， ， 这个数列的前项是， 可归纳得数列的通项公式. 【题型2】 通项公式与前项和 【典题1】 已知下面各数列的前项和的公式，求的通项公式． (1) ；　(2) . 解析 (1)当时，； 当时，， 则. 此时若，则， 故. (2)当时，； 当时，， 则. 不满足， 故. 点拨 若题目中已知数列前项和，可利用公式求数列的通项公式，注意分类讨论，最后要检验是否满足. 【典题2】已知数列的前项和为，而，通过计算，猜想等于( ) A． B． C． D． 解析 (1)， ，，， 猜测；， 故选：． 【巩固练习】 1.已知数列的前项和为，若，则 ( )　 A． B． C． D． 答案 解析 根据题意，数列的前项和， 则； 故选：． 2.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，我们把这个数列叫做“等和数列”，这个常数叫做该数列的公和，已知数列是等和数列且，公和为，则数列的前项和的计算公式为　　． 答案 解析 由题意知，，且，所以，，得， 则 当为偶数时， 当为奇数时， 故. 3.已知数列的通项公式为，其前项和为，则在数列 中，有理数项的项数为　 　． 答案 解析 由题意，可知： ． ． 为有理项， 又下标的通项公式为， ，且， 解得：， 有理项的项数为． 4.已知数列的前项和，求此数列的通项公式． 答案 . 解析 当时，； 当时，，不适合上式， 故. 5.已知数列的前项和满足． (1)求； (2)由的值猜想这个数列的通项公式(不用证明)． 答案 (1) ，，，；(2) ． 解析 (1)， ，， ，， 同理可得：， (2)由的值猜想这个数列的通项公式． 【A组---基础题】 1.在数列中，，则　　) A． B． C． D． 答案 解析 ， 则，，，， 故选：． 2.设数列满足，，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 数列满足，， 则，同理可得：， 可得． ． 故选：． 3.已知数列满足：，为正整数，，若，则所有可能的取值为(　　) A． B． C． D． 答案 解析 ， 必为偶数，1，解得． 当为偶数时，，解得； 当为奇数时，，解得，舍去． ． 当为偶数时，，解得； 当为奇数时，，解得=1． 当时，当为偶数时，，解得； 当为奇数时，，解得，舍去． 当时，当为偶数时，，解得； 当为奇数时，，解得，舍去． 当时，当为偶数时，，解得； 当a1为奇数时，，解得． 当时，当为偶数时，，解得； 当为奇数时，，解得，舍去． 综上可得． 故选：． 4. 已知数列的前项和，若数列单调递减，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 ，① ，② ①－②得数列为单调递减数列， ，且