第04讲 相似三角形-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第二十七章 相似 27.2 相似三角形 目标导航 课程标准 课标解读 1.掌握基本事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.了解相似三角形的判定定理∶两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 3.了解相似三角形的性质定理∶相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 1.理解和掌握平行线分线段成比例定理及其推论；。 2.掌握三角形相似的证明方法，能够证明三角形相似。 3.掌握相似三角形的性质，能够利用相似三角形的性质证明角相等，探索线段之间的数量关系等。 4.能够运用三角形相似解决一些简单的实际问题。 知识精讲 知识点01 相似三角形的概念 1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形。 【微点拨】相似用符号“∽”表示，写两三角形相似与写两三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，以便于找出相似三角形的对应角和对应边。 2.平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：3条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图，如果// //，那么a：b=c：d. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 【即学即练1】如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例可直接对A、C进行判断；利用得到，利用得到，可对B、D进行判断． 【详解】A：， ，故A错误； B：， ， 由得：， 则，故B错误； C：由得，， 故C错误； D：由得到， 由 得到， 则，故D正确； 故选：D． 知识点02 三角形相似的判定定理 1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应 成比例，两三角形相似。 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 点拨①由三角形相似的条件可知，若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组角直角边的比相等，或斜边的比与一组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似。 ②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形彼此相似。如图，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，△ADC∽△CDB。 5.判定三角形相似的思路 （1）判有平行截线，用判定定理； （2）有一对等角，找另一对等角或找夹边成比例； （3）有两边对应成比例，找夹角相等或找第三边也成比例或者有一对直角； （4）直角三角形，找一对锐角相等或斜边、直角边对应成比例； （5）等腰三角形，找顶角相等或一对底角相等或者底和腰成比例； 【即学即练2】如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】A．∵，，∴，故原说法正确，不符合题意； B． ∵，，∴，故原说法正确，不符合题意； C．∵， ，∴，故原说法正确，不符合题意； D． ∵，而不一定等于 ，∴与不一定相似，故原说法错误，符合题意． 故选：D． 知识点03 相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。 (2)相似三角形周长的比等于相似比。 (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 【即学即练3】如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】作垂直于，延长和交于点，则有，由题意易得，，设，则，，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：如图，作垂直于，延长和交于点， ∵， ∴，， 菱形的边长为4， ，， 是的中点， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， 由， ， ∴， ， 解得． 故选：B． 知识点04 相似三角形的应用举例 运用相似三角形可以测量物体的高度或宽度，一般步骤如下： ①画：根据实际问题画出几何图形； ②判：判定图中有关三角形相似； ③解：利用相似三角形的性质得到比例式，解方程得到数学问题的解； ④答：写出实际问题的答案。