专题训练３、４ 最短距离问题、中点联想 - 2022-2023学年九年级下册初三数学【勤径千里马·随堂小练10分钟】（华东师大版）

书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " 专题训练３　最短距离问题 一、探究平面内最短距离的原理（主要有以下三种） １．垂线段最短． ２．“两点之间，线段最短”．立体图形上最短路径问题需借助表面展开图转 化为平面问题． ３．平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化 为两点之间的线段． 二、与最短距离有关的图形或辅助线 １．把立体图形“化曲为直”转化成平面图形后，连结两点的线段． ２．作其中一个点关于对称轴的对称点． # 类型１　两点之间线段最短 １．如图，从甲地到乙地有４条路，其中最近的是　　　　，这是因为　　　　． １题图 　　　　　　 ２题图 # 类型２　立体图形上的最短路径 ２．如图为一圆柱形工艺品，其底面周长为６０ｃｍ，高为２５ｃｍ，从点Ａ出发绕 该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点Ｂ，则该装饰线最短为 ． ３．已知蚂蚁从长、宽都是３，高是８的长方体纸箱（如图）的点 Ａ沿纸箱表 ３题图 面爬到点Ｂ，那么它所爬行的最短路线的长是 （　　） Ａ．８ Ｂ．１０ Ｃ．１２ Ｄ．１６ ０７ 书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " ４．如图，圆柱形玻璃杯高为８ｃｍ，底面周长为１２ｃｍ，在杯内离杯底２ｃｍ的 点Ｃ处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿２ｃｍ与蜂蜜 相对的点Ａ处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短路程． ４题图 # 类型３　轴对称与最短距离 ５．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是 （　　） Ａ．两点确定一条直线 Ｂ．垂线段最短 Ｃ．过一点只能作一条直线 Ｄ．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ６．如图，⊙Ｏ的半径ＯＡ＝５ｃｍ，若弦 ＡＢ＝８ｃｍ，Ｐ为 ＡＢ上一动点，则点 Ｐ 到圆心Ｏ的最短距离是　　　　 ． ６题图 　　　　　　 ７题图 # 类型４　最短距离与几何图形的综合应用 ７．如图，已知菱形ＡＢＣＤ的两条对角线长分别是６和８，Ｍ、Ｎ分别是边ＢＣ、 ＣＤ的中点，Ｐ是对角线ＢＤ上一点，则ＰＭ＋ＰＮ的最小值是　　　　 ． ８．已知Ａ（１，１）、Ｂ（３，９）是抛物线ｙ＝ｘ２上的两点，在ｙ轴上有一动点Ｐ，当 △ＰＡＢ的周长最小时，点Ｐ的坐标是 ． １７ 书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " 专题训练４　中点联想 一、与中点有关的知识点 １．三角形三边的中线． ２．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ３．等腰三角形“三线合一”的性质． ４．三角形的中位线定理． ５．四边形中的中点四边形． ６．垂径定理及其推论． 二、与中点有关的辅助线 １．构造三角形的中位线，如连结三角形两边的中点；取一边的中点然后与 另一边的中点相连结；过三角形一边的中点作另一边的平行线等． ２．作三角形的角平分线的垂直平分线，构造等腰三角形． ３．把三角形的中线延长一倍，构造平行四边形． ４．连结圆中弦（除直径外）的中点与圆心，构造直角三角形，应用垂径定理． # 类型１　三角形一边上的中线等分三角形的面积 １．如图，已知ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，且△ＡＢＣ的面积是２４，则△ＡＢＤ的面积 是 ． １题图 　　　　　　 ２题图 # 类型２　等腰三角形的“三线合一” ２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ的中点，∠ＢＡＤ＝３５°，则∠Ｃ的度数 是 （　　） Ａ．３５° Ｂ．４５° Ｃ．５５° Ｄ．６０° ２７ 书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是边 ＢＣ的中点，ＤＥ、ＤＦ分别垂直于 ＡＢ、 ＡＣ于点Ｅ、Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ． ３题图 # 类型３　直角三角形斜边上的中线 ４．一直角三角形的两直角边长分别是１２和１６，则斜边上中线的长是 （　　） Ａ．２０ Ｂ．１０ ５题图 Ｃ．１８ Ｄ．２５ # 类型４　三角形的中位线 ５．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ、Ｅ分别是 ＡＢ、ＡＣ的中点．若 ＢＣ＝１０， 则ＤＥ＝ ． ６．如图，已知在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＢＣ上，且ＣＤ＝ＣＡ，ＣＦ平分∠ＡＣＢ，ＡＥ＝ＥＢ． 求证：ＥＦ＝１２ＢＤ． ６题图 # 类型５　中点四边形 ７．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，Ｍ、Ｎ、Ｅ、Ｆ分别是边 ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点． 求证：四边形ＭＮＥＦ是平行四边形． ７题图 ３７ 书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " ８．如图，四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ⊥ＢＤ，垂足为点Ｏ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是 ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点．求证：四边形ＥＦＧＨ是矩形． ８题图 # 类型６　圆中遇弦的中点联想垂径定理 ９．如图，在半径为５ｃｍ的⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝６ｃｍ，ＯＣ⊥ＡＢ于点Ｃ，则ＯＣ的长 为 （　　） ９题图 Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．５ｃｍ Ｄ．６ｃｍ １０．如图，已知在⊙Ｏ中，Ｃ是 ) ＡＢ的中点，弦 ＡＢ与半径 ＯＣ相交于点 Ｄ， ＡＢ＝１２，ＣＤ＝２，求⊙Ｏ的