专题训练１、２ 与角平分线有关的问题、与线段的垂直平分线有关的问题 - 2022-2023学年九年级下册初三数学【勤径千里马·随堂小练10分钟】（华东师大版）

书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " 中考必备———工具性专题训练 专题训练１　与角平分线有关的问题 一、与角平分线有关的知识点 １．角平分线的判定和性质． ２．角平分线的夹角． ３．三角形的内心及其性质． ４．同圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系． 二、与角平分线有关的图形或辅助线 １．角平分线与平行线构成等腰三角形． ２．角平分线与垂线构成等腰三角形． ３．过角平分线上的点作角两边的垂线． # 类型１　利用角平分线的性质求线段的长度或三角形的面积 １．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＢＣ＝１０，ＢＤ＝６，则点 Ｄ到 ＡＢ的距离是 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ １题图 　　　　　　 ２题图 ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，交ＡＣ于点Ｄ．若 ＣＤ＝ｂ，ＡＢ＝ａ，则△ＡＢＤ的面积是 （　　） Ａ．ａｂ Ｂ．１２ａｂ Ｃ．２ａｂ Ｄ． １ ３ａｂ # 类型２　角平分线性质与平行线性质的综合应用 ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分线交于点 Ｄ．过点 Ｄ 作ＥＦ∥ＢＣ交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ． （１）请你写出图中所有的等腰三角形； （２）判断ＥＦ、ＢＥ、ＣＦ之间的数量关系，并证明你的结论． 　３题图 ５６ 书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " # 类型３　三角形的角平分线的交角问题 ４．如图，已知△ＡＢＣ． （１）如图①，若Ｐ为∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分线的交点． 求证：∠Ｐ＝９０°＋１２∠Ａ； （２）如图②，若Ｐ为∠ＡＢＣ和外角∠ＡＣＤ的平分线的交点． 求证：∠Ｐ＝１２∠Ａ； （３）如图③，若Ｐ为外角∠ＣＢＤ和∠ＢＣＥ的平分线的交点． 求证：∠Ｐ＝９０°－１２∠Ａ． ４题图①　　　４题图②　　　４题图③ # 类型４　角平分线的性质与等腰三角形的“三线合一”性质的综合应用 ５．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝４，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，Ｅ是边ＡＣ的中点， 求ＤＥ的长． ５题图 ６６ 书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " 专题训练２　与线段的垂直平分线有关的问题 一、与线段的垂直平分线有关的知识点 １．线段的垂直平分线的判定和性质． ２．线段的垂直平分线与平行线和等腰三角形的性质关系． ３．三角形的外心及其性质． ４．实际问题中确定点的位置． 二、与线段的垂直平分线有关的图形或辅助线 １．连结线段垂直平分线上一点与线段两个端点构成等腰三角形． ２．作线段的垂直平分线构成直角三角形． # 类型１　利用线段垂直平分线的性质求角度或线段长 １．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１００°，ＡＢ的垂直平分线 ＤＥ分别交 ＡＢ、ＢＣ于点Ｄ、Ｅ，则∠ＢＡＥ的度数是 （　　） Ａ．８０° Ｂ．６０° Ｃ．５０° Ｄ．４０° １题图 　 ２题图 　 ３题图 　 ４题图 ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，ＤＥ垂直平分斜边 ＡＣ，交 ＡＢ于点 Ｄ，垂 足是点Ｅ，连结ＣＤ，若ＢＤ＝１，则ＡＣ的长是 ． # 类型２　利用线段的垂直平分线的性质求三角形的周长 ３．如图，在等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝８，ＢＣ＝５，ＡＢ的垂直平分线 ＤＥ交 ＡＢ 于点Ｄ，交ＡＣ于点Ｅ，则△ＢＥＣ的周长是 （　　） Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１５ Ｄ．１６ ４．如图，在△ＡＢＣ中，边 ＡＢ的垂直平分线分别交 ＢＣ、ＡＢ于点 Ｄ、Ｅ， ＡＥ＝３ｃｍ，△ＡＤＣ的周长是９ｃｍ，则△ＡＢＣ的周长是 ． ７６ 书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " # 类型３　添加辅助线解决与线段垂直平分线有关的问题 ５．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＡ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ的垂直平分线与 ＡＣ交于 点Ｄ，与ＡＢ交于点 Ｆ，试探究线段 ＡＤ与 ＤＣ的数量关系，并证明你的 结论． ５题图 ６．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＡＢ的垂直平分线分别交ＡＢ、 ＡＣ于点Ｄ、Ｅ． （１）求证：ＡＥ＝２ＣＥ； （２）求证：ＤＥ＝ＥＣ． ６题图 ８６ 书 数学·九年级下·ＨＳ　 　 ! 　 " # 类型４　作角平分线和线段的垂直平分线解决实际问题 ７．已知甲村和乙村靠近公路ａ、ｂ，为了发展经济，甲、乙两村准备合建一个 工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（１）到两村的距离相等；（２）到两 条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？ ７题图 # 类型５　线段垂直平分线与三角形的外心 ８．如果一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是 （　　） ９题图 Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不能确定 ９．如图，已知在△ＡＢＣ中，点 Ｉ是外心．若∠ＢＩＣ＝１１０°， 则∠Ａ＝ ． １０．如图，已知等腰△ＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ＝８，∠ＢＡＣ＝１２０°，请用圆规和直尺