4.2.2等差数列的前n项和（第2课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第 4 章 数列 人教A版2019选修第一册 4.2.2等差数列的前n项和（第2课时） 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 01等差数列前n项和应用 02等差数列前n项和最值 目录 宋老师数学精品工作室 2 学习目标 1.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点). 2.会求等差数列前n项和的最值(重点). 宋老师数学精品工作室 1.等差数列前n项 和应用 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列 {an} 的前项和为。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和 已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。 例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位， 从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 典例 宋老师数学精品工作室 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn. 根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800. 由 a1 21 因此，第1排应安排21个座位。 解得a1＝21. 因此，第1排应安排21个座位. 宋老师数学精品工作室 1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关 键在于构造合适的等差数列． 2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知 识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前 n项和Sn，还是求项数n. 归纳总结 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 1. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 练一练 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 2.等差数列前n项 和最值 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 分析 数项的和。 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成， 所以当时， 可以看成二次函数， 当= 时函数值。如图，当 时， 关于的图像是一条开口向下 的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的, 的值。 例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在 最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 典例 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是递减数列. 由a1＝10，d＝－2， 得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12. 可知，当n＜6时，an＞0； 当n＝6时，an＝0； 当n＞6时，an＜0. 所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞… 也就是说，当n＝5或6时，Sn最大. 因为 =30 所以Sn的最大值为30. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 解法2：因为由a1＝10，d＝－2， 因为 所以，当n取与 最接近的整数， 即5或6时，Sn最大，最大值为30. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法： (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的 各项和为最大(小)． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法： (1)寻找正、负项的分界点来寻找． (2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴 最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点． 归纳总结 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 练一练 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工