2.2 第2课时 基本不等式的应用-（课件）2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.2　基本不等式 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 第2课时 基本不等式的应用 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 素养养成·学透教材 4 课堂评价·及时反馈 A B C C 2 Thank you for watching 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 学习 目标 1. 理解基本不等式的本质． 2. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 类型1　利用基本不等式的变形求最值 　(课本P45例2补充)(1) 已知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值． (2) 若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值． 【解答】 因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y).因为x＞0，y＞0，所以eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6，当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即y＝3x时取等号．因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. (2) x2＋y2＋xy＝1⇒(x＋y)2－xy＝1.因为xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，所以(x＋y)2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2≤1，解得eq \f(3,4)(x＋y)2≤1，所以－eq \f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq \f(2\r(3),3)，所以x＋y的最大值是eq \f(2\r(3),3). eq \f(8,3) 变式1　设x，y都是正数，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，则2x＋y的最小值为_________. 【解析】 因为eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，所以eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\f(y,x)·\f(4x,y))))＝eq \f(8,3)，当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(4x,y)，即y＝2x时取等号．又因为eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(4,3)时，2x＋y的最小值为eq \f(8,3). 变式2　已知x，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为_________. 【解析】 x＋2y＝8－2xy≥8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2(当且仅当x＝2y时取等号)，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.因为x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4. 【规律总结】 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换． 类型2　利用基本不等式解决实际应用问题 　(课本P46、P47例3、例4补充)如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1 m宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800 m2，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值． 【解答】 设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy＝800，所以y＝eq \f(800,3x)，所以矩形区域ABCD的面积S＝(3x＋4)(y＋2)＝(3x＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(800,3x)＋2))＝800＋6x＋eq \f(3 2