2.2 第1课时 基本不等式-（课件）2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.2　基本不等式 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 第1课时 基本不等式 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 素养养成·学透教材 ABC B 课堂评价·及时反馈 C D B B 25 Thank you for watching 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 学习 目标 1. 理解基本不等式eq \r(,ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)． 2. 能运用基本不等式求最值，证明不等式. 类型1　利用基本不等式比较大小 　(多选)已知a>0，b>0，则下列各式中一定成立的是( ) A. a＋b≥2eq \r(ab) B. eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 C. eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) 　 D. eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab) 【解析】 由eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，得a＋b≥2eq \r(ab)，所以A正确；因为eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，所以B正确；因为a2＋b2≥2ab，eq \r(ab)>0，所以eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥eq \f(2ab,\r(ab))＝2eq \r(ab)，所以C正确；因为a＋b≥2eq \r(ab)，所以eq \f(1,a＋b)≤eq \f(1,2\r(ab))，所以 eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，所以D错误． 变式　若a>b>0，则下列不等式成立的是( ) A. a>b>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab) B. a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>b C. a>eq \f(a＋b,2)>b>eq \r(ab) D. eq \f(a＋b,2)>a>eq \r(ab)>b 【解析】 令a＝3，b＝1，则eq \f(a＋b,2)＝2，eq \r(ab)＝eq \r(3)，所以a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>b. 【规律总结】 基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和． 类型2　利用基本不等式直接求最值 　(课本P45例1补充)(1) 当x>0时，求eq \f(12,x)＋4x的最小值． (2) 设0<x<2，求eq \r(3x·8－3x)的最大值． (3) 当x>1时，求2x＋eq \f(8,x－1)的最小值． (4) 已知4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 【解答】 (1) 因为x>0，所以eq \f(12,x)>0,4x>0，所以eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3)，当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)，所以当x>0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为8eq \r(3). (2) 因为0<x<2，所以0<3x<6,2<8－3x<8，所以eq \r(3x·8－3x)≤eq \f(3x＋8－3x,2)＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝eq \f(4,3)时取等号，故所求最大值为4. (3) 2x＋eq \f(8,x－1)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1＋\f(4,x－1)))＋2，因为x>1，所以x－1>0，所以2x＋eq \f(8,x－1)≥2×2eq \r(4)＋2＝10，当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时取等号，所以当x>1时，2x＋eq \f(8,x－1)的最小值为10. (4) 4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即a＝4x2＝36时取等号，所以a＝36. 变式　(1) 若x>eq \f(3,2)，则x＋eq \f(4,2x－3)的最小值是__________________. (2) 若0<x<eq \f(3,2)，则x(3－2x)的最大值是_________. 2eq \r(2)＋eq \f(3,2) eq \f(9,8) 类型3　利用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c是正实数，求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c.