5．3　高效课时2　函数的最值（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

2022年·数学必修第一册（苏教A） 必修第一册 f(x)≤f(x0) ymax＝f(x0) f(x)≥f(x0) ymin＝f(x0) 课下限时巩固练（二十四） 高效课时2/ 函数的最值 　知识探究区——注重知识生成过程 【情境导入】 科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况． 问题：(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？ (2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？ (3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？ 提示：(1)最高气温25度，最低气温零下5度． (2)在[－5，25]内变化． (3)在第6时取得最小值，在第17时取得最大值． 【知识概括】 (1)函数的最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A， 都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为 ． (2)函数的最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A， 都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为 ． 【要点解读】 1．最大(小)值定义中具备的两个条件 (1)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥m)成立； (2)M与m是一个函数值，它是值域的一个元素，如f(x)＝－x2的最大值是0，有f(0)＝0，注意定义中“存在”一词的理解． 两条件缺一不可，若只有前者，M(m)不是最大(小)值，如f(x)＝－x2≤1成立，但1不是最大值．更不能只有后者，那样就丢掉了最大(小)值的核心了． 2．函数的最值和值域的联系与区别 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定 义域． (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． [示例]　1.下列说法正确的是(　　 ) A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b B．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b] C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点 D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点 解析：值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对．f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错．若f(x)min＝a，由定义知一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错． 答案：A　 2．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________． 解析：由图可知，图象最低点的纵坐标为－1，图象最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为－1. 答案：－1　2　 [对点练]　(1)函数f(x)＝eq \f(2,x)，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． (2)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：(1)函数f(x)＝eq \f(2,x)在[2，4]上是减函数，所以最大值为f(2)＝1，最小值为f(4)＝eq \f(1,2).(2)函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4. 答案：(1)1　eq \f(1,2)　(2)4　 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 图象法求函数的最值(值域) 利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的 最小值． [例1]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x，0≤x≤2，,\f(2,x－1)，x>2，))求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出f(x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2； 当x＝eq \f(1,2)时，f(x)取最小值为－eq \f(1,4). 所以f(x)的最大值为2，最小值为－eq \f