4.4 数学归纳法（精练）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法（精练） 1 等式证明 1．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，其中. 【答案】证明见解析. 【解析】（1）当时，左边， 右边， 所以左边=右边，等式成立. （2）假设当时，等式成立， 即， 那么当时， .等式成立 综上，对任何，等式都成立. 2．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）． 【答案】证明见解析 【解析】证明：①当 时，，，等式成立； ②假设 时，， 则时， ， 即时，等式成立， 综合①②可知，（，）． 3．（2022广东）用数学归纳法证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）当时，左边=，右边=，等式成立， （2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝， 当时， ＋…＋+ ， 即当时等式也成立.， 由（1）（2）可知：等式对任何都成立， 故. 4．（2022云南）用数学归纳法证明： （1）； （2）； （3）． 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析. 【解析】(1)当时，等式左边，右边，所以等式成立； 假设时等式成立，即， 则当时，， 故时等式成立， 综上可知，等式成立. (2) 当时，等式左边，右边，所以等式成立； 假设时等式成立，即， 则当时，， 故时等式成立， 综上可知，等式成立. (3) 当时，等式左边，右边，所以等式成立； 假设时等式成立，即， 则当时， ， 故时等式成立， 综上可知，等式成立. 2 不等式证明 1．（2022山东）求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】(1)当n=2时，左边=，右边=，显然左边>右边，即原不等式成立， (2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即， 则当n=k+1时， 左边= =右边， 因此，当n=k+1时，原不等式成立， 综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立. 2（2021·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立． 【答案】证明见解析. 【解析】由，得， 所以, 用数学归纳法证明不等式成立，证明如下： ①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． ②假设当时不等式成立，即成立， 则当时，左边, , 右边． 所以当时，不等式也成立． 由①②可得不等式对任意的都成立， 即原不等式成立． 3．（2022河北）用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析； 【解析】（1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当，时，不等式成立，即有， 则当时，左边 ， 又 即， 即当时，不等式也成立. 综上可得，对于任意，成立. 4．（2022云南）用数学归纳法证明： (1)； (2)； 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【解析】（1）当时，1，成立； 当时，假设成立； 当时，左边（），命题正确． （2）当时，，成立； 当时，假设 成立； 当时，左边 命题正确． 5．（2022湖南）数学归纳法证明：． 【答案】详见解析 【解析】（ⅰ）当时，左边=，右边=，左边<右边，即不等式成立； （ⅱ）假设时，不等式成立，即， 则当时，左边=， 问题可通过证明来实现. 要证， 只需证，只需证 只需证，只需证， 只需证，∵显然成立，∴， 即当是不等式也成立. 由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的，不等式恒成立. 3 数列的证明 1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题． (1)求，，，并猜想的通项公式； (2)证明（1）中的猜想． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析. 【解析】（1）选条件①， 由题意可得，同理可得，， 猜想()． 选条件②， 由题意可得，∵，，∴，， ∴，同理可得， 猜想（）． （2） 显然当时，猜想成立， 假设当时，猜想成立，即（）， 当时，由，可得= （）， 即当时，猜想成立， 综上所述，（）． 12．（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且. (1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法加以证明. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【解析】(1)因为且. 所以，解得， 因为， 所以，解得. 由，猜想：. (2) ①当时，等式成立； ②假设当时猜想成立，即 那么，当时，由题设，得，， 所以，， 则. 因此，， 所以. 这就证明了当时命题成立. 由①②可知：命题对任何都成立. 3（2022·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足． (1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)，； (2)见解析 【解析】(1) 由可得，又，则，， 则，猜想； (2) 由（1）得，当时，， ①当时，猜想显然成立； ②假设当时成立，即； 当时，，猜想成立