4.4 数学归纳法（精讲）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法（精讲） 考点一 等式的证明 【例1】（2022·广西河池）用数学归纳法证明：（n为正整数）． 【答案】证明见解析 【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时，等式成立， 即， 那么当时， ． 故当时，等式也成立． 综上可知等式对任意正整数n都成立． 【一隅三反】 1．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*). 【答案】证明见解析 【解析】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立. （2）假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立. 由（1）（2）知，等式对任何n∈N*都成立. 2．（2021·全国·高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)． 【答案】证明见解析 【解析】(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)． 则当n＝k＋1时， 1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2 ＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2] ＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7) ＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]， 即当n＝k＋1时成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N*结论成立． 3．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n. 【答案】证明见解析 【解析】证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 即1＋5＋9＋＋(4k－3)＝k(2k－1)． 则当n＝k＋1时， 左边＝1＋5＋9＋＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1) ＝[2(k＋1)－1](k＋1)， ∴当n＝k＋1时，等式成立． 由①②知，对一切n∈N*，等式成立． 考点二 不等式的证明 【例2】（2022·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【答案】证明见解析 【解析】(1)当n＝1时，左边右边， 即当n＝1时，原不等式成立， (2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立， 即1+++…+≤+ k， 则当n=k+1时， 1+++…++++…+<+k+=+(k+1)， 即当n=k+1时，不等式成立， 综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立. 【一隅三反】 1．（2022·全国·高二课时练习）证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 【答案】证明见解析 【解析】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即， 当n＝k＋1时， ， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n∈N*都成立． 2．（2021·江苏·高二课时练习）证明：不等式，恒成立. 【答案】证明见解析. 【解析】当时，成立 假设时，不等式成立 那么时 ，，， 即时，该不等式也成立 综上：不等式，恒成立. 3．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析 【解析】先证明出，，即， 构造函数， 当时，则， 所以，函数在上单调递增，则， 则，即， 即， 对任意的，当时，. 当时，左边，右边，左边右边； 假设当时，不等式成立，即. 则当时，则. 这说明，当时，原不等式也成立. 综上所述，对任意的，. 考点三 数列的证明 【例3】（2022·江西赣州）已知数列满足，前n项和． (1)求，，的值并猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明（1）的猜想． 【答案】(1)，，，；(2)证明见解析. 【解析】(1)∵，前n项和， ∴令，得， ∴， 令，得， ∴． 令，得， ∴． 猜想． (2) 用数学归纳法给出证明如下 ①当时，结论成立； ②假设当(，)时，结论成立， 即， 则当时，， ， 即， ∴， ∴， ∴当时结论成