5.1.4 用样本估计总体-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高一数学精品教学课件(人教B版2019必修第二册）

5.1.4　用样本估计总体 知识梳理 用样本的数字特征估计总体的数字特征 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等.所以，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可. 2 问题1.用样本的数字特征估计总体的数字特征 问题2：分层抽样下用样本的数字特征估计总体的数字特征 用样本的分布来估计总体的分布 如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多.特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大. 如果容许有一定误差，则可以用样本的分布去估计总体的分布.而且，在总体的分布不可能获得时，只能用样本的分布去估计总体的分布.同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差. 如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说， （πi-pi）2＝ ［（π1-p1）2+（π2-p2）2+…+（πn-pn）2］ 不等于零.同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大. 依照上述公式可以算出，前述尝试与发现（2）中总体的平均数可以估计为167.86，总体的方差可以估计为25.98. 问题3.用样本的分布估计总体的分布 如果从上述尝试与发现中提到的数据中，抽取两个容量为100的样本，则可以得到如下频数、频率对应表： 频率分布直方图的关系 众数、中位数、平均数与 温故知新： 初中统计部分曾学过用什么来反映总体的水平？ 用什么来考察稳定程度？它们是怎么定义的？ 1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做 这组数据的众数 在初中我们学过用平均数、众数和中位数反映总体的水平，用方差考察稳定程度。 2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数 3、平均数: 一般地，如果n个数 ，那么， 叫做这n个数的平均数 众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，本节课就学习如何利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数？ 我们以前面学过的调查100位居民的月均用水量的问题中， 所得到的频率分布直方图为例，来研究样本的众数、中位数、 平均数等数字特征与样本数据的频率分布直方图的关系。 0.5 2.5 2 1.5 4 3.5 3 4.5 频率 组距 1 如图为 100位居民的月均用水量的样本频率分布直方图： 思考1：图中最高的小长方形的含义是什么？由此你是否能得 出众数是几？ 图中最高的小长方形的含义是样本数据落在[2，2.5）的最多，所以众数一定在[2，2.5）内，因为在[2，2.5） 内的数据较多，于是通常取该区间的两个端点的平均数作为众数，即 众数是2.25 2.25 重要结论1： 众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标 我们已经会用频率分布直方图来求样本的众数。那么如何求中位数？ 0.5 2.5 2 1.5 4 3.5 3 4.5 频率 组距 1 如图为 100位居民的月均用水量的样本频率分布直方图： 思考2：根据中位数的定义知道：在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，由此你是否能求出中位数是几？ ∵中位数左边的数据个数与右边的数据个数是相等的 ∴中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值 0.5 2.5 2 1.5 4 3.5 3 4.5 频率 组距 1 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 前四个小长方形的面积和=0.49 后四个小矩形的面积和=0.26 x=a 若令所求的中位数为a，则直线x=a把整个直方图的面积平分为二，于是有0.49+ （a-2）×0.5=0.5得a=2.02 2.02 重要结论2：中位数在样本数据的频率分布直方图中，就是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 思考题 中位数一定在最高的小长方形内取得吗？ ∵最高的小长方形左右两边的小长方形的面积和分别都不会达到0.5 ∴结论：中位数一定在最高的小长方形内取得，但是不一定是该区间的两个端点的平均数，即有可能比平均数大，也