第一章-集合与逻辑用语（讲义） - 吉林省高职高专院校单独招生数学（讲义+课件）

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解 含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉ . (4)五个特定的集合及其关系图： N*或 N＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示 有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A中任意一个 元素都是集合 B 中的元素，则称 A是 B 的子集，记作 A⊆B(或 B⊇A)． (2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一 个元素不属于 A，则称 A是 B的真子集，记作 AB 或 BA. AB⇔ A⊆B， A≠B. 既要说明 A 中任何一个元素都属于 B，也要说 明 B中存在一个元素不属于 A. (3)集合相等：如果 A⊆B，并且 B⊆A，则 A＝B. 两集合相等：A＝B⇔ A⊆B， A⊇B. A 中任意一个元素都符合 B 中元 素的特性，B 中任意一个元素也符合 A中元素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是 任何非空集合 B 的真子集．记作∅ . ∅ ∈{∅ }，∅ ⊆{∅ }，0∉ ∅ ，0∉ {∅ },0∈{0}，∅ ⊆{0}． 3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成 的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B（找相同），即 A∩B＝{x|x ∈A，且 x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成 的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪B（全都要），即 A∪B＝{x|x ∈A，或 x∈B}． (3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁ UA(U--A)，即∁ UA＝{x|x∈U，且 x∉ A}． 求集合 A 的补集的前提是“A是全集 U的子集”，集合 A 其实是 给定的条件.从全集 U 中取出集合 A 的全部元素，剩下的元素构成的 集合即为∁ UA. 二、常用结论 (1)子集的性质：A⊆A，∅ ⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅ ＝∅ ，A∩B＝B∩A. (3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A ∪∅ ＝∅ ∪A＝A. (4)补集的性质：A∪∁ UA＝U，A∩∁ UA＝∅ ，∁ U(∁ UA)＝A，∁ AA ＝∅ ，∁ A∅ ＝A. (5)含有 n个元素的集合共有 2n个子集，其中有 2n－1 个真子集， 2n－1 个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B. 【例题精解】 【例 1】 下列语句中,哪个可确定一个集合 ( ) A.本班性格开朗的同学全体 B.与 0 接近的实数的全体 C.本校数学科学得好的同学全体 D.大于 2 小于 20 的偶数的全体 【点评】 根据集合对象(元素)的含义:A、B、C 中的“性格开朗”、 “接近”、“学 得好”没有绝对标准,模糊,对象确定不了归属,故 A、B、C 不能构成 集合,而 D 能确定元 素的归属,故答案为 D. 【例 2】· 设 A={3,4,5,6,7},B={1,3,5,7,9},则 A 与 B 的相同元 素构成的集合为( ) A {1,4,6,9} B {3,5,6} C {4,5,7} D {3,5,7} 解析：选 D 找相同数字 【例 3】·已知 A={1,2,3,4},B={3,4,5},则 A∪B=( ) A.{1,2,3,3,4,5} B.{3,4} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 解析：选 D 并集全都要，重复的写一个 【例 4】．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}， 则∁ U(A∪B)＝( ) A．{2,6} B．{3,6} C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6} 解析：选A 因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以 A∪B＝{1,3,4,5}．又 U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁ U(A∪B)＝{2,6}． 【例 5】已知集合 A={-1,0,1,2},那么 A 的真子集的个数是 ( ) A.4 B.8 C.16 D.15 解析： 集 A 的子集个数为 2�,n=4,所以 A 的子集共有 16 个,其中包括本 身 {-1,0,1,2},但它不是 A 的真子集,因此答案为 D;注意:非空