第四章 平面向量（讲义） - 吉林省高职高专院校单独招生数学（讲义+课件）

第四章 平面向量 第一节 平面向量的概念及线性运算 一、基础知识 1．向量的有关概念 (1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 A 为起点、B为终点的向量记作 AB―→，也可用黑体的单个小写字母 a，b， c，…来表示向量． (2)向量的长度(模)：向量 AB―→的大小即向量 AB―→的长度(模)，记 为| AB―→|. 2．几种特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为 0 的向量 零向量记作 0，其方向是任 意的 单位向量 长度等于 1个单位的向量 单位向量记作 a0，a0＝ a |a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量 (也叫共线向量) 0 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量， 平行向量不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的两个 向量 若 a，b为相反向量，则 a＝ －b 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a平行的单位向量有两个，即向量 a |a| 和－ a |a| . 3．向量的线性运算 向量运 算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个 向量和 的运算 三角形法则 平行四边 形法则 ❷ (1)交换律：a＋b＝ b＋a； (2)结合律：(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c) 减法 求 a与 b 的相反 向量－b 的和的 运算叫 做 a与 b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ与向 量 a的 积的运 算 |λa|＝|λ||a|；当λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同；当λ＜0 时，λa的方 向与 a的方向相反；当λ＝0 时，λa＝0 λ ( μ a) ＝ ( λ μ)a；(λ＋μ)a＝ λa＋μa；λ(a＋ b)＝λa＋λb ❷向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表 示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点. 4．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b＝ λa. 只有 a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性. 二、常用结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则 OP―→＝ 1 2 ( OA―→＋ OB―→)． (2) OA―→＝λ OB―→＋μ OC―→ (λ，μ为实数)，若点 A，B，C 三点 共线，则λ＋μ＝1. 考点一 平面向量的有关概念 [典例] 给出下列命题： ①若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB―→＝ DC―→是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是________． [解析] ①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又 b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故 a＝c. ②正确．∵ AB―→＝ DC―→，∴| AB―→|＝| DC―→|且 AB―→∥ DC―→， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB―→∥ DC―→且| AB―→|＝| DC―→|，因此， AB―→＝ DC―→. ③不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b不是 a＝b的充要条件，而是必要不充分条 件． ④不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [答案] ①② [解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa＝μb，则 a 与 b共线． 其中错误的命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终 点．②错误，当 a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a 与 b可以是任意向量．故错误的命题 有 3个，故选 D. 2．设 a0为单位向量，下列命题中：①若 a为平面内的某个向量， 则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0平行且 |a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 D 向量是既有大小又有方向的量，