第三章 三角函数 解三角形（讲义） - 吉林省高职高专院校单独招生数学（讲义+课件）

第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形． (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 弧度记作 rad. (2)公式： rad π=180 rad 2π=360 00 '185730.571801          rad 角α的弧度数 公式 |α|＝ l r (l 表示弧长) 角度与弧度的 换算 ①1°＝ π 180 rad；②1 rad＝ 180 π ° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝ 1 2 lr＝ 1 2 |α|r2 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采 用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是 弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ y x(x≠0)． 二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义（给终边上一点） 设点 P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|， 则 sin α＝ y r ，cos α＝ x r ，tan α＝ y x (x≠0)． (3)象限角 (4)轴线角 考点一 象限角及终边相同的角 [典例] (1)若角α是第二象限角，则 α 2 是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴ π 2 ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴ π 4 ＋kπ< α 2 < π 2 ＋kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时， α 2 是第一象限角； 当 k 为奇数时， α 2 是第三象限角．故选 C. 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与 45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－ 765 360 ≤k<－ 45 360 (k∈Z)， 从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315° 考点二 三角函数的定义（给终边上一点） [典例] 已知角α的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－ 5 13 ， 则 1 sin α ＋ 1 tan α ＝________. [解析] ∵角α的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－ 5 13 ， ∴cos α＝ －x x2＋36 ＝－ 5 13 ， 解得 x＝ 5 2 或 x＝－ 5 2 (舍去)， ∴P － 5 2 ，－6 ，∴sin α＝－ 12 13 ， ∴tan α＝ sin α cos α ＝ 12 5 ，则 1 sin α ＋ 1 tan α ＝－ 13 12 ＋ 5 12 ＝－ 2 3 . [答案] － 2 3 [解题技法] 用定义法求三角函数值的 2种类型及解题方法 (1)已知角α终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距 离 r，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的 坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解． [题组训练] 1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则 sin α＋ 1 cos α ＝( ) A．－ 1 5 B. 37 15 C. 37 20 D. 13 15 解析：选 D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－ 4 5 ， cos α＝ 3 5 ，∴sin α＋ 1 cos α ＝－ 4 5 ＋ 5 3 ＝ 13 15 . 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终 边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝( ) A．－ 4 5 B．－ 3 5 C． 3 5 D． 4 5 解析：选B 设 P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ ＝ t 5|t| .当 t>0 时，cos θ＝ 5 5 ；当 t<0 时，c