第二章 函数与基本概念（讲义） - 吉林省高职高专院校单独招生数学（讲义+课件）

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第一节 函数及其表示 一、基础知识 1．函数与映射的概念 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 求函数定义域的策略 (1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数 y＝f(x)是用表格给出，则表格中 x 的集合即为定 义域． (3)如果函数 y＝f(x)是用图象给出，则图象在 x 轴上的投影所 覆盖的 x 的集合即为定义域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则 这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、 列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同 的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 关于分段函数的 3 个注意 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的 并集． (3)各段函数的定义域不可以相交． 考点一 函数的定义域 f（x）= 1 � �|� ≠ 0 f（x）= � �|� ≥ 0 f（x）= 1 � �|�＞0 f（x）=�0 �|� ≠ 0 f（x）=log�� �|�＞0 【例 1】函数（1）f(x)＝log5(x２－１)的定义域是( ) A．(－∞,－１]∪[１,＋∞) B．(－∞,－１)∪(１,＋∞) C．[－１,１] D．(－１,１) （2）函数 y= x² − x的定义域为( ) A. (-∞,0] B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.[1，+∞) D.（- ∞,0]∪[1,+∞) 解析：（1）x２－１＞0，(－∞,－１)∪(１,＋∞) 选 B （2）x² − x ≥0，（-∞,0]∪[1,+∞) 选 D 考点二 判断同一函数 1·看化简前的定义域 2.看化简后的解析式 【例 2】下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A y=�0 ，y=1 B y=x-1 ， y=x²−1/x+1 C f（x）=x² ，f（x）=（x+1）² D f（x）=4x²+3，， g（t）=4t²+3 答案：选 D 考点三 分段函数 f（x）= �² =|x|=________ 【例 3】已知函数 f(x)＝ 2x，x≤1， f x－1 ，x>1， 则 f(f(3)) ＝ ________. 解析：由题意，得 f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2， ∴f(f(3))＝f(2)＝2. 答案：2 【例 4】 已知 f(x)=2x²-x+3,则 （1）f(-1)= ________. （2）f(-x)= ________. （3）-f(x)=________. （4）若 f(b)=9,则 b=________. [课时跟踪检测] 1．下列所给图象是函数图象的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B ①中当 x＞0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象；②中当 x＝x0时，y 的值有两个，因此不是 函数图象；③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象．故 选 B. 2．函数 f(x)＝ 2x－1＋ 1 x－2 的定义域为( ) A．[0,2) B．(2，＋∞) C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：选 C 由题意得 2x－1≥0， x－2≠0， 解得 x≥0，且 x≠2. 3．已知 f 1 2 x－1 ＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a等于( ) A. 7 4 B．－ 7 4 C. 4 3 D．－ 4 3 解析：选 A 令 t＝ 1 2 x－1，则 x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝ 4t－1， 则 4a－1＝6，解得 a＝ 7 4 . 4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域 相同的是( ) A．y＝ x－1 B．y＝ln x C．y＝ 1 3x－1 D．y＝ x＋1 x－1 解析：选 D 对于 A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)， 不满足题意；对于 B，定义域为(0，＋∞)，值域为 R，不满足题意； 对于 C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0， ＋∞)，不满足题意；对于 D，y＝ x＋1 x－1 ＝1＋ 2 x－1 ，定义域为(－∞， 1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 【同步训练】 一、选择题 1.函数 f(x)=