第二章 导数及其应用 章末小结与质量评价（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

[对点训练] 当x≥7时，P(x)=6.x-C(x)-2=6.x 解：(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A! 的距离x的平均变化率为 (6x+lnx+g-1）-2=15-nx- 3 8-5 3 3 =0.005(勒克斯/米)，：所以P(x)= 合+4r-2,0<1, 它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距 15-In r-e ≥7. 离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯. (2):1(x)=8 x千100-20x+x' (2)由1可得，当0<r<,P()=-号+4r-2 .'(x)=8·(-2·x3)十 -(-20+2x) = 16+20-2x 3(x-6)2+10≤10，当且仅当x=6时，等号成立： (10-x) (10-x) e3 .r(5)=-125 15+20-10 14 54 一125 =-0.112(勒克斯/米). 当x≥7时，P(x)=15-lnx-x' 它表示点与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减则P()=一+Ce x 2, 弱的速度为0.112勒克斯/米. [题点二] 所以，当7≤r<e时，P'(x)>0,即画数P()=15-lnx-e [典例]解：(1)设包装盒的底面边长为a,高为h, 单调递增；当x>e3时，P'(x)<0,即函数P(x)=15一lnx 则由题意可得，a=2x,h=602-V2(30-),其中0<<30， 2 e单调递减： 所以S=4ah=8.x(30-x)=-8(x-15)2+1800≤1800， 因此，当x=15时，S取得最大值； 所以当x=心时，Px)=15-lhx-号取得最大位P(e)=15 (2)根据题意，由1)有V=(V}2×号(60-2x)=2V区r(30-1ne- e11 -x)(0<x30), 综上，当x=c3=20时，P(.x)取得最大值11万元： .V'=6√2.x(20-x),由V'=0得，x=0(舍)或x=20. 即当年产量为x=e3=20时，该同学的这一产品所获年利润最 当x∈(0,20)时，V'>0:当x∈(20,30)时，V<0. !大，最大年利润是11万元. 所以，函数V=2√2x2(30一x)在区间(0,20)上单调递增，在区[对点训练] 间(20,30)上单调递减，所以，当x=20时，函数V=2√2x2(30:解：设速度为每小时v海里的燃料费是每小时力元， -x)取得极大值，也是最大值」 那么由题设的比例关系得p=k·,其中k为比例系数， [对点训练] 由题知v=10时，p=6, 1.解析：设该漏斗的高为xcm,则底面半径为√202一xcm, k=6 其体积为V=日x(20-)= 0=0.006,则p=0.0062, 3π(400.x一x)(0<<!又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用 20》,则V=寸x40-3x) 为q元， 那么每小时所需的总费用是0.006十96（元），而航行1海里 令V'=0,解得x1= 203 3一，2=—0V5(会去). 所需时间为工小时，所以航行】海里的总费用为q 3 当0<205时，V'>0: 1(0.0067+96)=0.0062+96 3 当205<<20时，V<0. q=0.012w- 96_0.012(-8000) 3 令g'=0,解得u=20, 所以当=205时，V取得最大值 因为当20时，g0,当0>20时，g>0, 3 所以当v=20时，g取得最小值， 答案.203 即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小. 章末小结与质量评价 2.解：设弯成圆的一段长为x(0<x<100),另一段长为100 ![题型一] x,记正方形与圆的面积之和为S,则S=x(云) 十1.选Cy=e1十.xe1=(x十1)e1,故曲线在点(1,1)处 的切线斜率为k=2. (00)°0<<10.则s=云-g100-0 2.解：(1)f(2)=2十2-16=-6，.点(2，一6)在曲线上. 令S=0,则.x=100r :(x)=(x3+x-16)=3x2+1,.在点(2，-6)处的切 π+41 线的斜率为k=(2)=3×22+1=13, 由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积： .切线的方程为y=13(x-2)十(-6)，即y=13x-32. 之设小值显然存在，故当-0 cm时，面积之和最小. (2)设切点坐标为(，y),则直线l的斜率为f'(x)=3x6 +1,.直线l的方程为y=(3.x十1)(x-x0)十x0十x。一16. 故当我得弯成圆的一段长为100红cm时，两种图形面积之和 又直线l过点(0,0)，.0=(3.x十1)(-x。)十x十x,一16，整 π十4 最小 理得x=-8,∴x=-2,%=(-2)3+(-2)-16=-26,