【经典思维讲练-定义新运算】讲义人教版五年级数学上册经典思维训练

人教版五年级数学上册经典思维训练 第32讲：定义新运算 【例1】对于任意整数a、b，定义新运算：a⊕b=a×b＋a＋b。这种运算有交换律和结合律吗？ 【解】先看这种运算是否有交换律。 a⊕b=a×b＋a＋b; b⊕a=b×a＋b＋a=a×b＋a＋b。 a⊕b=b⊕a， 说明这种运算有交换律。再看这种运算是否有结合律。 (a⊕b)⊕c=(a×b+a+b)⊕c =(a×b＋a＋b)×c＋a×b＋a＋b＋c =abc+ac+bc+ab+a+b+c; a⊕(b⊕c)=a⊕(b×c+b+c) =a×(b×c＋b＋c)＋a＋b×c＋b＋c =abc+ab+ac+a+bc+b+c =abc+ab+ac+bc+a+b+c。 （a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），说明这种运算有结合律。 【练习1】对于任意整数a、b，定义新运算：a※b=a×b-（a＋b）。 （1）求5※7，7※5。这种运算有交换律吗? （2）求12※（3※4），（12※3）※4。这种运算有结合律吗? 【例2】已知a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不旋转。运算◎表示“接着做”。 求a◎b；b◎c；c◎a。 【解】a◎b表示先顺时针旋转90°，再顺时针旋转180°，等于顺时针旋转270°，相当于逆时针旋转90°，所以a◎b=c。 b◎c表示先顺时针旋转180°，再逆时针旋转90°，等于顺时针旋转90°，所以b@c=a。 c◎a表示先逆时针旋转90°，再顺时针旋转90°，相当于不旋转，所以c◎a=d。 对于a，b，c，d四种运动，可以编制一个关于◎的运算表（如下所示）。例如c◎b，找到c所在的行和b所在的列，交叉处的a就是c◎b的结果。因为运算◎有交换律，所以根据c所在的列和b所在的行也能得到相同的结果。 【练习2】用a，b，c表示一个等边三角形绕它的中心在同一平面内所做的旋转运动： a表示顺时针旋转240°，b表示顺时针旋转120°，c表示不旋转。运算@表示“接着做”。请你编制一个关于＠的运算表。 【例3】对于任意整数a、b，定义新运算如下： 求（1▢2）＋（2▢3）＋（3▢4）＋（4▢5）＋（5▢6）＋（6▢7）＋（7▢8）＋（8▢9）＋（9▢10）。 【解】这是一道分类讨论的计算题。前四个括号里的两数之和都小于10。 （1▢2）＋（2▢3）＋（3▢4）＋（4▢5） =2×(1×2+2×3＋3×4＋4×5) =2×(2＋6＋12＋20) =80 后五个括号里的两数之和都大于10。 因为5▢6=2×5＋6-1=5×3，6▢7=6×3，7▢8=7×3，… 所以（5▢6）＋（6▢7）＋（7▢8）＋（8▢9）＋（9▢10） =（5＋6＋7＋8＋9）×3 =105。 所以原式=80＋105=185。 【练习3】 对于任意整数P、Q，定义新运算如下： 求（1⊕2）＋（2⊕3）＋（3⊕4）＋（4⊕5）＋（5⊕6）+（6⊕7）＋（7⊕8）＋（8⊕9）＋（9⊕10）。 【例4】对于任意整数、y，定义新运算如下： 求（2013⊗2014）+（2014⊗2015）+（2015⊗2016）+…+（2018⊗2019）。 【解】每个小括号里的两个数都是一奇一偶。 因为2013⊗2014=（2013＋2014＋1）÷2=2014， 2014⊗2015=2015， 2015⊗2016=2016…… 所以原式=2014＋2015＋2016＋2017＋2018＋2019=（2014＋2019）×3=12099。 【练习4】对于任意两数m和n，定义新运算如下： 求（2019◇2019）＋（2019◇2018）＋（2018◇2019）。 【例5】对于任意非0整数a、b，定义新运算如下： 求2018×（2017*2）—2017×（2018*2）。 【解】根据新运算的含义，2017*2=2017＋20172017，2018*2=2018＋20182018。 原式=2018×（2017＋20172017）-2017×（2018＋20182018） =2018×(2017＋2017×10001)-2017×(2018＋2018×10001) =2018×2017×(1＋10001)-2017×2018×(1＋10001) =0 【练习5】对于任意非0整数a、b，定义新运算如下： 求2019×（2018*3）-2018×（2019*3）。 【例6】对于任意整数a、b，定义新运算：a△b=3a-2b。如果△6比6△大5，那么等于多少？ 【解】根据新运算的含义，△6-6△=（3-2×6）-（3×6-2）=5-30。因为△6比6△大5，所以5-30=5，解得=7。 【练习6-1】对于任意整数a、b，定义新运算：a◉b=2a＋b。如果◉2◉3◉4◉5◉6◉7◉8◉9=3039，那么等于