4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用（课时作业）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

训练六　等差数列前n项和的综合应用 [对应素能提升训练第11页] 1.已知数列{an}满足an＝2n－26,则使其前n项和Sn取最小值的n的值为 （　　） A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 解析　∵an＝2n－26,∴an－an－1＝2,∴数列{an}为等差数列.又a1＝－24,d＝2,∴Sn＝－24n＋×2＝n2－25n＝－.∵n∈N*,∴当n＝12或13时,Sn最小. 答案　D 2.设数列{an}是等差数列,若a1＋a3＋a5＝105,a2＋a4＋a6＝99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn达到最大值的n是 （　　） A.18 B.19 C.20 D.21 解析　∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3,∴a3＝35,∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4,∴a4＝33,∴d＝a4－a3＝－2,∴an＝a3＋（n－3）d＝41－2n,令an＞0,∴41－2n＞0,∴n＜, ∴n≤20. 答案　C 3.设f（x）＝,则f＋f＋…＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 018）＋f（2 019）＝（　　） A.2 018 B. C.2 019 D. 解析　∵f（x）＋f＝＋＝1, ∴设S＝f＋f＋…＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 018）＋f（2 019）, 则有S＝f（2 019）＋f（2 018）＋…＋f（1）＋f＋…＋f＋f, 两式相加得 2S＝2＋2＋…＋2＋[ f（1）＋f（1）]＝2×2 018＋1＝4 037, ∴原式＝. 答案　B 4.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6＞S7＞S5,下列选项中正确的是 （　　） A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 解析　∵S6＞S7,∴a7＜0,∵S7＞S5,∴a6＋a7＞0,∴a6＞0,∴d＜0,A正确.又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0,B正确.S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0,C不正确.{Sn}中最大项为S6,D不正确.故正确的是AB. 答案　AB 5.数列{an}中,an＝2n－49,当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时,n＝　　　　.  解析　由an＝2n－49知{an}是等差数列,an＞0⇒n＞,又n∈N*∴n＝24. 答案　24 6.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为　　　　米.  解析　假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000（米）. 答案　2 000 7.已知等差数列{an}中,a3＋a4＝15,a2a5＝54,公差d＜0. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值. 解　（1）∵{an}为等差数列,∴a2＋a5＝a3＋a4, ∴ 解得（因d＜0,舍去）或⇒ ∴an＝11－n. （2）∵a1＝10,an＝11－n, ∴Sn＝＝－n2＋n. 又－＜0,对称轴为n＝,故当n＝10或11时,Sn取得最大值,其最大值为55. 8.已知{an}为等差数列,若＜－1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n＝ （　　） A.11 B.17 C.19 D.21 解析　∵Sn有最大值,∴d＜0,则a10＞a11,又＜－1,∴a11＜0＜a10,a10＋a11＜0,S20＝10（a1＋a20）＝10（a10＋a11）＜0,S19＝19a10＞0,∴S19为最小正值.故选C. 答案　C 9.（多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3＝12,S12＞0,a7＜0,则（　　） A.a6＞0 B.－＜d＜－3 C.Sn＜0时,n的最小值为13 D.数列中最小项为第7项 解析　依题意得a3＝a1＋2d＝12,a1＝12－2d,S12＝×12＝6（a6＋a7）.而a7＜0,所以a6＞0,a1＞0,d＜0,A选项正确.且解得－＜d＜－3,B选项正确.由于S13＝×13＝13a7＜0,而S12＞0,所以Sn＜0时,n的最小值为13,C选项正确.由上述分析可知,n∈[1,6]时,an＞0,n≥7时,an＜0；当n∈[1,12]时,Sn＞0,当n≥13时,Sn＜0.所以当n∈[7,12]时,an＜0,Sn＞0,＜0,且当n∈[7,12]时,｜an｜为递增数列,Sn为正数且为递减数列,所以数列中最小项为第7项,D选项正确.故选