4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的前n项和（课时作业）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

训练二　数列的递推公式与数列的前n项和 [对应素能提升训练第3页] 1.已知数列{an}中,a1＝2,an＋1＝an＋n（n∈N*）,则a4的值为 （　　） A.5 B.6 C.7 D.8 解析　因为a1＝2,an＋1＝an＋n,所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3,a3＝a2＋2＝3＋2＝5,a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 答案　D 2.（多选）已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n,那么 （　　） A.30是数列{an}的一项 B.45是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 解析　分别令2n2－n的值为30,45,66,90,可知只有当2n2－n＝45时,n＝5；当2n2－n＝66时,n＝6,故45,66是数列{an}的一项. 答案　BC 3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2,则an等于 （　　） A.n B.n2 C.2n＋1 D.2n－1 解析　当n＝1时,a1＝S1＝12＝1,当n≥2时,由an＝Sn－Sn－1,得an＝n2－（n－1）2＝2n－1.当n＝1时,a1＝2×1－1＝1满足上式.故数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 答案　D 4.设Sn为数列{an}的前n项和.若2Sn＝3an－3,则a4＝ （　　） A.27 B.81 C.93 D.243 解析　根据2Sn＝3an－3,可得2Sn＋1＝3an＋1－3,两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an,即an＋1＝3an.当n＝1时,2S1＝3a1－3,解得a1＝3,则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81. 答案　B 5.黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖　　　　块.  解析　第1个图案中有白色地面砖6块,第2个图案中有白色地面砖10块,第3个图案中有白色地面砖14块,…,一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖,从而第n个图案中有4n＋2块白色地面砖. 答案　4n＋2 6.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn＋Sn－1＝2n－1（n≥2）,且S2＝3,则a1＋a3的值为　　　　.  解析　∵Sn＋Sn－1＝2n－1（n≥2）,令n＝2,得S2＋S1＝3,由S2＝3得a1＝S1＝0,令n＝3,得S3＋S2＝5,所以S3＝2,则a3＝S3－S2＝－1,所以a1＋a3＝0＋（－1）＝－1. 答案　－1 7.（2022·梅州高二期末）在各项均为正数的数列{an}中,a1＝a且an＋1＝＋. （1）当a3＝2时,求a1与a4的值； （2）求证：当n≥2时,an＋1≤an. 解　（1）∵a3＝2,∴a3＝＋＝2, ∴＋4＝4a2,解得a2＝2. 又a2＝＋,∴＋＝2,∴＋4＝4a1,解得a1＝2. ∵a4＝＋,a3＝2,∴a4＝2. （2）证明：要证当n≥2时,an＋1≤an,只需证≤1, 即证＋≤1,即证＋≤1, 即证≥4,即证an≥2. ∵an＝＋≥2＝2（当且仅当an－1＝2时,等号成立）, ∴当n≥2时,an＋1≤an. 8.（多选）对于数列{an},令bn＝an－,则下列说法正确的是 （　　） A.若数列{an}是单调递增数列,则数列{bn}也是单调递增数列 B.若数列{an}是单调递减数列,则数列{bn}也是单调递减数列 C.若an＝3n－1,则数列{bn}有最小值 D.若an＝1－,则数列{bn}有最大值 解析　若a1＝－1,a2＝1,则b1＝b2＝0,A不正确.若a1＝1,a2＝－1,则b1＝b2＝0,B不正确.函数f（x）＝x－在（0,＋∞）上为增函数,若an＝3n－1,则数列{an}为递增数列,当n＝1时,an取最小值,a1＝2＞0,数列{bn}有最小值,从而C正确.若an＝1－,当n＝1时,an取最大值,a1＝,且an＞0,从而数列{bn}有最大值,D正确. 答案　CD 9.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq,且a2＝－6,那么a10等于 （　　） A.－165 B.－33 C.－30 D.－21 解析　∵数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq,且a2＝－6,∴a2＝a1＋1＝a1＋a1＝－6⇒a1＝－3,从而a3＝a1＋2＝a1＋a2＝－9,a5＝a3＋2＝a3＋a2＝－9－6＝－15, ∴a10＝a5＋5＝a5＋a5＝－30,故选C. 答案　C 10.（多选）数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn,则下列结构正确的是 （　　） A.S5＝F7－1 B.S5＝S6－1 C.S2 019＝F2 0