4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（课时作业）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

训练九　等比数列的前n项和 [对应素能提升训练第17页] 1.已知等比数列{an}的首项a1＝3,公比q＝2,则S5等于 （　　） A.93 B.－93 C.45 D.－45 解析　S5＝＝＝93. 答案　A 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S5＝10,S10＝50,则S15等于 （　　） A.150 B.170 C.190 D.210 解析　因为S5,S10－S5,S15－S10也成等比数列,所以（S10－S5）2＝S5（S15－S10）,即402＝10×（S15－50）,所以S15＝210. 答案　D 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a4－a1＝78,S3＝39,设bn＝log3an,那么数列{bn}的前10项和为 （　　） A.log3 71 B. C.50 D.55 解析　由a4－a1＝78得a1（q3－1）＝78,又S3＝a1（1＋q＋q2）＝39,解得a1＝q＝3,故an＝3n,bn＝n,所以数列{bn}的前10项和为55. 答案　D 4.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是其前n项和,且9S3＝S6,则数列的前5项和等于 （　　） A.或5 B.或5 C. D. 解析　设数列{an}的公比为q,显然q≠1,由已知得＝,解得q＝2,∴数列是以1为首项,为公比的等比数列,前5项和为＝. 答案　C 5.Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n＝　　　　.  解析　∵Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n, ① ∴2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1. ② ①－②,得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝（1－n）×2n＋1－2, ∴Sn＝（n－1）×2n＋1＋2. 答案　（n－1）×2n＋1＋2 6.在正项等比数列{an}中,S30＝13S10,S30＋S10＝140,则S20＝　　　　.  解析　设等比数列的公比为q,由题意知q≠±1,由条件可得S10＝10,S30＝130,因为数列S10,S20－S10,S30－S20成等比数列,所以（S20－S10）2＝S10（S30－S20）,即（S20－10）2＝10（130－S20）,故S20＝－30或S20＝40.又S20＞0,所以S20＝40. 答案　40 7.（2022·广州高二期末）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝1,a2＋a3＝12. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{bn－an}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{bn}的前n项和Tn. 解　（1）因为{an}是各项均为正数的等比数列,且a1＝1,a2＋a3＝12,所以 即q2＋q－12＝0,解得q＝3或q＝－4. 又因为an＞0,所以q＝3, 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1. （2）因为{bn－an}是首项为1,公差为2的等差数列, 所以bn－an＝1＋（n－1）×2＝2n－1, 所以bn＝2n－1＋an＝3n－1＋2n－1, 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（30＋1）＋（31＋3）＋…＋（3n－1＋2n－1） ＝（30＋31＋…＋3n－1）＋（1＋3＋…＋2n－1） ＝＋＝＋n2－. 8.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q等于 （　　） A.1 B.0 C.1或0 D.－1 解析　因为Sn－Sn－1＝an,又{Sn}是等差数列,所以an为定值,即数列{an}为常数列,所以q＝＝1. 答案　A 9.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5＝2,S10＝6,则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于 （　　） A.8 B.12 C.16 D.24 解析　设等比数列{an}的公比为q,因为S2n－Sn＝qnSn,所以S10－S5＝q5S5,所以6－2＝2q5,所以q5＝2,所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＝q15S5＝23×2＝16. 答案　C 10.（多选）设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6＝8a3,则 （　　） A.数列{an}的公比为2 B.数列{an}的公比为8 C.＝8 D.＝9 解析　因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6＝8a3,所以＝q3＝8,解得q＝2,所以＝＝1＋q3＝9,故选AD. 答案　AD 11.在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1＋a4＝18,a2＋a3＝12,则这个数列的前8项之和S8＝　　　　.  解析　a1＋a4＝a1（1＋q3）＝18,a2＋a3＝a1（q＋q2）＝12,两式联立解得q＝2或,而q为整数,所以q＝2,a1＝2,代入公式求得S8＝＝510. 答案　5