4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 [学习任务] 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.（重点） 2.会用错位相减法求数列的和.（重点） [对应学生用书第24页] 知识点　等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1,末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ [对应学生用书第24页] 探究一　等比数列的前n项和公式的基本运算 [例1]　在等比数列{an}中, （1）若a1＝1,a5＝16,且q＞0,求S7； （2）若Sn＝189,q＝2,an＝96,求a1和n； （3）若a3＝,S3＝,求a1和公比q. [解]　（1）∵{an}为等比数列且a1＝1,a5＝16, ∴a5＝a1q4,∴16＝q4,∴q＝2（负的舍去）. ∴S7＝＝＝127. （2）方法一：由公式Sn＝,an＝a1qn－1 以及已知条件得 ∴a1·2n＝192,∴2n＝. ∴189＝a1（2n－1）＝a1,∴a1＝3. 又∵2n－1＝＝32,∴n＝6. 方法二：由公式Sn＝及已知条件得189＝, 解得a1＝3,又由an＝a1·qn－1, 得96＝3×2n－1,解得n＝6. （3）①当q≠1时,S3＝＝, 又a3＝a1·q2＝, ∴a1（1＋q＋q2）＝,即（1＋q＋q2）＝, 解得q＝－（q＝1舍去）, ∴a1＝6. ②当q＝1时,S3＝3a1,∴a1＝. 综上得或 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”,常常列方程组来解答. （2）对于基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方法进行消元,有时会用到整体代换,如qn,都可看作一个整体. 1.在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn. （1）a1＝8,an＝,Sn＝,求n； （2）S3＝,S6＝,求an及Sn. 解　（1）显然q≠1,由Sn＝,即＝, ∴q＝.又∵an＝a1qn－1,即8×＝,∴n＝6. （2）方法一：由S6≠2S3知q≠1,由题意得 ②÷①,得1＋q3＝9,∴q3＝8,即q＝2. 代入①得a1＝,∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2, Sn＝＝2n－1－. 方法二：由S3＝a1＋a2＋a3,S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3. ∴1＋q3＝＝9,∴q3＝8,即q＝2. 代入＝,得a1＝, ∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2, Sn＝＝2n－1－. 探究二　等比数列的前n项和的性质 [例2]　等比数列{an}的前n项和Sn＝48,前2n项和S2n＝60,则前3n项和S3n＝　　　　.  [解析]　方法一：设公比为q,由已知易知q≠1,由可得所以S3n＝＝[1－（qn）3]＝64×＝63. 方法二：由Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列,得（S2n－Sn）2＝Sn（S3n－S2n）,即（60－48）2＝48（S3n－60）,解得S3n＝63. [答案]　63 　　运用等比数列求和性质解题时,一定要注意性质成立的条件.否则会出现失误.如Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…成等比数列的前提是Sn,S2n－Sn,S3n－S2n均不为0. 2.（1）已知等比数列{an}中,若前10项的和是10,前20项的和是30,则前30项的和是　　　　.  （2）已知等比数列{an}共有2n项,其和为－240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q＝　　　　.  解析　（1）方法一：因为数列{an}是等比数列,所以有S10,S20－S10,S30－S20成等比数列,所以（S20－S10）2＝S10（S30－S20）,即（30－10）2＝10×（S30－30）,即S30－30＝40,即S30＝70. 方法二：由等比数列前n项和的性质Sm＋n＝Sn＋qnSm,得S20＝S10＋q10S10,即30＝10＋10q10,所以q10＝2.所以S30＝＋q20S10＝30＋40＝70. （2）由题意,得解得所以q＝＝＝2. 答案　（1）70　（2）2 探究三　与等比数列有关的数列求和问题 1.错位相减法 [例3]　已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且＝7,a5＝32. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{nan}的前n项和Tn. [解]　（1）设数列{an}的公比是q. ∵an＞0,＝＝1＋q＋q2＝7, ∴q＝2或q＝－3（舍去）. 又a5＝32,∴a1＝＝2, ∴数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2n. （2）由（1）知nan＝n·2n, ∴Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n, ① ∴2Tn＝22＋2×23