4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第2课时　等差数列前n项和的综合应用 [学习任务] 1.能利用等差数列的前n项和解决实际问题.（重点） 2.会求等差数列前n项和的最值.（难点） [对应学生用书第16页] 知识点　等差数列前n项和Sn的最值 （1）若a1＜0,d＞0,则数列的前面若干项为负数项（或0）,所以将这些项相加即得Sn的最小值. （2）若a1＞0,d＜0,则数列的前面若干项为正数项（或0）,所以将这些项相加即得Sn的最大值. 　　特别地,若a1＞0,d＞0,则S1是Sn的最小值；若a1＜0,d＜0,则S1是Sn的最大值. [对应学生用书第16页] 探究一　等差数列前n项和的最值问题 [例1]　 在等差数列{an}中,若a1＝25,且S9＝S17,求Sn的最大值. [解]　方法一：∵S9＝S17,a1＝25, ∴9×25＋d＝17×25＋d, 解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋×（－2）＝－n2＋26n＝－（n－13）2＋169. ∴当n＝13时,Sn有最大值,即S13＝169. 方法二：同方法一,求出公差d＝－2. ∴an＝25＋（n－1）×（－2）＝－2n＋27. ∵a1＝25＞0, ∴解得 ∴当n＝13时,Sn有最大值. S13＝25×13＋×（－2）＝169,因此Sn的最大值为169. 方法三：∵S9＝S17,∴a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. ∵a1＞0,∴d＜0.∴a13＞0,a14＜0. ∴当n＝13时,Sn有最大值. S13＝25×13＋×（－2）＝169. 因此Sn的最大值为169. 方法四：设Sn＝An2＋Bn. ∵S9＝S17, ∴二次函数对称轴为n＝＝13,且开口方向向下, ∴当n＝13时,Sn取得最大值. 由方法一知d＝－2, ∴S13＝25×13＋×（－2）＝169. 因此Sn的最大值为169. 求等差数列前n项和Sn的最值的方法 （1）二次函数法： 将Sn＝n2＋n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数的单调性来解决,体现了函数思想. （2）通项法： 若a1＞0,d＜0,则数列的所有正数项之和最大； 若a1＜0,d＞0,则数列的所有负数项之和最小. 1.（1）（2022·烟台高二期末）在等差数列{an}中,若Sn为其前n项和,若S13＜0,S14＞0,则使Sn最小的n的值为（　　） A.14 B.13 C.8 D.7 （2）等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5＋a7＝4,a6＋a8＝－2,则当Sn取最大值时,n的值是 （　　） A.5 B.6 C.7 D.8 解析　（1）由题意知S13＝＝13a7＜0,S14＝＝7（a7＋a8）＞0,所以a7＜0,a8＞0.所以当n＝7时,Sn取得最小值. （2）依题意得2a6＝4,2a7＝－2,所以a6＝2＞0,a7＝－1＜0.又数列{an}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起,以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n＝6. 答案　（1）D　（2）B 探究二　等差数列求和的实际应用问题 [例2]　某单位用分期付款的方式为职工购买40套公寓,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,则全部按期付清后,买这40套公寓实际花了多少钱？ [解]　由于购房时先付150万元,则欠款1 000万元. 依题意分20次付款,则每次付款金额顺次构成数列{an}, ∴an＝50＋[1 000－50（n－1）]×1%＝60－（n－1）（1≤n≤20,n∈N*）, ∴{an}是以60为首项,－为公差的等差数列, ∴a20＝60－19×＝50.5, ∴S20＝（a1＋a20）×20＝10×（60＋50.5）＝1 105. ∴实际共付1 105＋150＝1 255（万元）. 故全部按期付清后,买这40套公寓实际花了1 255万元. 　　等差数列的求和公式在日常生活中有广泛的应用,利用它可以解决一些分期付款、行程、相遇问题,解有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型,最后求出符合实际的答案,其具体步骤为： （1）判断问题中涉及的数列是否为等差数列； （2）若是等差数列,找出首项、公差、项数； （3）确认问题是求an还是Sn； （4）选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解. 2.（2022·南通高二月考）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据资料统计,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月