4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和 [学习任务] 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程,掌握等差数列五个量a1,n,d,an,Sn之间的关系.（重点） 2.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用.（重点、难点） [对应学生用书第13页] 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 2.等差数列前n项和的性质 （1）若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为. （2）若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列,公差为m2d. （3）设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则＝. （4）若等差数列的项数为2n,则S2n＝n（an＋an＋1）, S偶－S奇＝nd,＝（S奇≠0）. （5）若等差数列的项数为2n＋1,则S2n＋1＝（2n＋1）an＋1（an＋1是数列的中间项）,S偶－S奇＝－an＋1,＝（S奇≠0）. [对应学生用书第14页] 探究一　等差数列前n项和的有关计算 [例1]　在等差数列{an}中： （1）已知a6＝10,S5＝5,求a8； （2）已知a2＋a4＝,求S5. [解]　（1）方法一：∵a6＝10,S5＝5, 解得∴a8＝a6＋2d＝16. 方法二：∵S6＝S5＋a6＝15, ∴15＝,即3（a1＋10）＝15. ∴a1＝－5,d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16. （2）方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝, 所以a1＋2d＝. 所以S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝5a1＋2×5d ＝5（a1＋2d）＝5×＝24. 方法二：a2＋a4＝a1＋a5,所以a1＋a5＝. 因为Sn＝, 所以S5＝＝×＝24. 　　（1）本题解答中,第（1）小题方法一运用了方程的思想,属基本运算,通性通法；方法二使用了Sn＝Sn－1＋an.第（2）小题因为条件只有一个,所以运用整体代换的思想. （2）由于Sn＝,故计算时考虑一下“a1＋an”这个小团体是否可以借助等差数列的性质求解. （3）等差数列的通项公式和前n项和公式共涉及“a1,an,d,n及Sn”五个量,反映了“知三求二”的方程思想. 1.已知等差数列{an}. （1）a1＝,a15＝－,Sn＝－5,求d和n； （2）a1＝4,S8＝172,求a8和d. 解　（1）∵a15＝＋（15－1）d＝－,∴d＝－. 又Sn＝na1＋d＝－5, 解得n＝15或n＝－4（舍）. （2）由已知,得S8＝＝＝172, 解得a8＝39, 又∵a8＝4＋（8－1）d＝39,∴d＝5. 探究二　等差数列前n项和性质的应用 [例2]　（1）等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m； （2）两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知＝,求的值. [解]　（1）方法一：在等差数列中, ∵Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列, ∴30,70,S3m－100成等差数列. ∴2×70＝30＋（S3m－100）,∴S3m＝210. 方法二：在等差数列中,,,成等差数列, ∴＝＋. 即S3m＝3（S2m－Sm）＝3×（100－30）＝210. （2）＝＝＝＝＝. 等差数列前n项和运算的几种思维方法 （1）整体思路：利用公式Sn＝,设法求出整体a1＋an,再代入求解. （2）待定系数法：利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数,设Sn＝An2＋Bn（A≠0）,列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设＝an＋b（a≠0）进行计算. （3）利用Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等差数列进行求解. 2.（1）等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3＝－6,S18－S15＝18,则S18等于 （　　） A.36 B.18 C.72 D.9 （2）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn',如果＝（n∈N*）,则的值是 （　　） A. B. C. D. 解析　（1）由S3,S6－S3,…,S18－S15成等差数列知,S18＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝＝36. （2）由等差数列前n项和的性质,得＝＝＝＝＝＝. 答案　（1）A　（2）C 探究三　求数列{｜an｜}的前n项和 [例3]　已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25,求数列{｜an｜}的前n项和. [解]　∵an＝4n－25,an＋1＝4（n＋1）－25, ∴an＋1－an＝4＝d. 又a1＝4×1－25＝－21, ∴数列{an}是以－21为首项,以4为公差的递增的等差数列. 令