4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的前n项和（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第2课时　数列的递推公式与数列的前n项和 [学习任务] 1.理解递推公式的含义.（重点） 2.掌握递推公式的应用.（难点） 3.掌握数列前n项和的概念,能由Sn求an.（易错点） [对应学生用书第5页] 知识点一　数列的递推公式 　　如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 知识点二　数列的前n项和 1.数列的前n项和 　　把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2.数列的前n项和公式 （1）如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式； （2）显然S1＝a1,而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥2）,于是我们有an＝ [对应学生用书第5页] 探究一　由递推公式求数列的项 [例1]　（链接教材第6页例5）数列{an}中,a1＝1,a2＝3,－anan＋2＝（－1）n,求{an}的前5项. [解]　由－anan＋2＝（－1）n, 得an＋2＝,又∵a1＝1,a2＝3, ∴a3＝＝＝10, a4＝＝＝33, a5＝＝＝109. ∴数列{an}的前5项为1,3,10,33,109. 由递推公式求数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可. （2）若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式. （3）若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 1.已知数列{an}中,a1＝1,an＋1＝an. （1）写出数列{an}的前5项； （2）猜想数列{an}的通项公式； （3）画出数列{an}的图象. 解　（1）a1＝1,a2＝×1＝, a3＝×＝, a4＝×＝, a5＝×＝. （2）猜想：an＝. （3）图象如图所示. 探究二　由递推公式求通项公式 [例2]　在数列{an}中,a1＝2,an＋1＝an＋ln,则an＝ （　　） A.2＋ln n B.2＋（n－1）ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n [解析]　方法一（归纳法）： 由题意得数列的前5项分别为 a1＝2,a2＝2＋ln＝2＋ln 2, a3＝（2＋ln 2）＋ln＝2＋ln 3, a4＝（2＋ln 3）＋ln＝2＋ln 4, a5＝（2＋ln 4）＋ln＝2＋ln 5, 由此可得数列的一个通项公式为an＝2＋ln n. 经检验符合题意. 方法二（迭代法）： 由题意得a2＝a1＋ln＝a1＋ln , a3＝a2＋ln＝a2＋ln , a4＝a3＋ln , …… an＝an－1＋ln＝an－1＋ln （n≥2）, 由an＝a1＋ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln ＝a1＋ln＝2＋ln n（n≥2）. 又a1＝2＝2＋ln 1,符合上式,所以an＝2＋ln n. 方法三（累加法）： 由题意得an＋1－an＝ln＝ln（1＋n）－ln n, a1＝2, a2－a1＝ln 2, a3－a2＝ln 3－ln 2, a4－a3＝ln 4－ln 3, …… an－an－1＝ln n－ln（n－1）（n≥2）, 以上各式两边分别相加, 得an＝2＋ln 2＋（ln 3－ln 2）＋…＋[ln n－ln（n－1）]（n≥2）. 所以an＝2＋ln n（n≥2）. 因为a1＝2也适合上式,所以an＝2＋ln n. [答案]　A [例3]　已知数列{an}中,a1＝1,an＝n（an＋1－an）（n∈N*）,求数列{an}的通项公式. [解]　方法一（累乘法）： ∵an＝n（an＋1－an）,即＝（易得an≠0）, ∴＝,＝,＝,…,＝（n≥2）. 以上各式两边分别相乘,得 ＝×××…×＝n（n≥2）. 又a1＝1,∴an＝n（n≥2）. ∵a1＝1也符合上式, ∴an＝n. 方法二（迭代法）： 由题意得＝（n≥2,an－1≠0）, 故＝,＝,＝,…,＝,＝（n≥2）, ∴an＝××…××××1＝n（n≥2）. ∵a1＝1也符合上式,∴an＝n. 由递推公式求通项公式的常用方法 （1）归纳法：根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式. （2）迭代法、累加法、累乘法： ①an＋1－an＝常数,若an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的）,使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan（p为非零常数）,或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积的）,使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q（p,q为非零常数且p≠1）,变形为an＋1＋λ＝p（an＋λ）其中λ＝,转化为第②类解决. 2.已知数列{an}中a1＝,an＝an－1（n≥2）,求数列{an}的通项公