4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法（教参Word）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第四章　数列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示法 [学习任务] 1.理解数列的概念,了解数列的函数特性.（重点、难点） 2.掌握数列的通项公式及应用.（重点） 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. [对应学生用书第1页] 知识点一　数列的概念 1.定义：一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号 a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用 a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用 an表示.其中第1项也叫做首项. 3.记法：数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 知识点二　数列的分类 1.按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 2.按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,第一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点三　数列的通项公式 　　如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. [对应学生用书第2页] 探究一　数列的概念及分类 [例1]　（1）（多选）下列说法中,不正确的是 （　　） A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列1,0,－1,－2与数列－2,－1,0,1是相同的数列 C.数列的项可以相等 D.数列a,b,c和数列c,b,a一定不是同一数列 [解析]　{1,3,5,7}不表示数列,故A错误；数列具有有序性,故B错误；在D中,当a＝c时,数列a,b,c和数列c,b,a表示同一数列,故D错误；数列的项可以相等,故C正确. [答案]　ABD （2）下列数列,哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ ①2 012,2 014,2 016,2 018,2 020,2 022； ②0,,,…,,…； ③1,,,…,,…； ④9,9,9,9,9,9. [答案]　①②是递增数列；③是递减数列；④是常数列. 数列单调性的判断 判断数列的单调性,需要从第2项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足an＜an＋1,则数列是递增数列；若满足an＞an＋1,则数列是递减数列；若满足an＝an＋1,则数列是常数列；若an与an＋1的大小不确定时,则数列是摆动数列. 1.已知下列数列： ①2,4,8,12； ②1,,,…,…； ③1,－,,…,,…； ④1,0,－1,…,sin ,…； ⑤6,6,6,6,6,6. 其中,（1）递增数列是　　　　；  （2）递减数列是　　　　.（填序号）  答案　（1）①　（2）② 探究二　由数列的前几项写出数列的一个通项公式 [例2]　写出下面各数列的一个通项公式. （1）,,,,,…； （2）6,66,666,6 666,…； （3）－1,,－,,－,,…； （4）,1,,,…. [解]　（1）这个数列前5项中,每一项的分子比分母少1,且分母依次为21,22,23,24,25,所以它的一个通项公式为an＝. （2）这个数列的前4项可写为（10－1）,（102－1）,（103－1）,（104－1）,所以它的一个通项公式为an＝（10n－1）＝（10n－1）. （3）这个数列的奇数项为负,偶数项为正,前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6,分子依次为1,3,1,3,1,3,所以它的一个通项公式为 an＝ （4）将数列变形为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,可得分子的通项公式为bn＝2n＋1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,可得分母的通项公式为cn＝n2＋1,所以原数列的一个通项公式为an＝（n∈N*）. 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构,如都化成分数、根式等. （2）分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. （3）对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用（－1）n或（－1）n＋1处理符号. （4）对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等. 2.写出下列数列的一个通项公式： （1）0,3,8,15,24,…； （2）1,－3,5,－7,9,…； （3）0,,,,…； （4）1,11,111,1 111,…. 解　（1）观察数列中的数,可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1,…,所以它的一个通项公式是an＝n2－1. （2）数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数