(练案)第8章第8讲 圆锥曲线的综合问题-2023年新高考数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)

4. 52 　 由已知可得 p = 2. 如图过 A 作 AA1⊥l,垂足为 A1,则由抛物线的定义得 | AA1 | = | AF | , ∴ xA + p 2 = 5,xA = 4,代入 y 2 = 4x, 得 y = ± 4,不妨记 A(4,4) . 又 F(1,0),直线 AB方程为y -04 -0 = x -1 4 -1,即 x = 3 4 y +1, 代入 y2 = 4x 得 y2 = 3y + 4,yB = - 1, ∴ S△AOB = 1 2 | OF | ( | yA | + | yB | ) = 1 2 × 1 × (4 + 1) = 5 2 . 5. [解析] 　 (1)当直线 l 的倾斜角为 45°,则 l 的斜率为 1, ∵ F p2 ,0( ),∴ l 的方程为 y = x - p 2 . 由 y = x - p2 , y2 = 2px, { 得 x2 - 3px + p24 = 0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 + x2 = 3p, ∴ |MN | = x1 + x2 + p = 4p = 16, p = 4, ∴ 抛物线 C 的方程为 y2 = 8x. (2)假设满足条件的点 P 存在, 设 P(a,0),由(1)知 F(2,0), ①当直线 l 不与 x 轴垂直时, 设 l 的方程为 y = k(x - 2)(k≠0), 由 y = k(x - 2), y2 = 8x,{ 得 k 2 x2 - (4k2 + 8)x + 4k2 = 0, Δ = (4k2 + 8) 2 - 4·k2·4k2 = 64k2 + 64 > 0, x1 + x2 = 4k2 + 8 k2 ,x1 x2 = 4. ∵ 直线 PM,PN 关于 x 轴对称, ∴ kPM + kPN = 0,kPM = k(x1 - 2) x1 - a ,kPN = k(x2 - 2) x2 - a . ∴ k(x1 -2)(x2 -a) +k(x2 -2)(x1 -a) = k[2x1x2 - (a +2)(x1 + x2) +4a] = - 8(a + 2)k = 0, ∴ a = - 2 时,此时 P( - 2,0) . ②当直线 l 与 x 轴垂直时,由抛物线的对称性, 易知 PM,PN 关于 x 轴对称,此时只需 P 与焦点 F 不重合即可. 综上,存在唯一的点 P( - 2,0),使直线 PM,PN 关于 x 轴对称. 第八讲　 圆锥曲线的综合问题 第一课时　 直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理 知识点一 > 　 = 　 < 知识点二 1 + k2· | x1 - x2 | 　 1 + 1 k2 · | y1 - y2 | 双基自测 1. B　 双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 =1(a >0,b >0)的一条渐近线与圆 x2 + (y - 4)2 = 4 相切,则圆心(0,4)到渐近线 bx - ay =0 的距离 d = |4a | b2 + a2 = 4ac = 2,所以 曲线 C 的离心率 e = ca = 2,故选 B. 2. B　 设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知 | AB | = - ( x1 + x2 ) + p = 8. 又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2,∴ - x1 + x2 2 = 2,∴ x1 + x2 = - 4, ∴ p = 4,∴ 所求抛物线的方程为 y2 = - 8x. 故选 B. 3. A　 双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜 角为 45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点. 则该直线的斜率的 绝对值小于或等于渐近线的斜率 b a ,所以 b a ≥1,e 2 = c 2 a2 = a 2 + b2 a2 ≥2, ∴ e≥ 2 . 故选 A. 4. C　 如图,由 | AB | = 2b 2 a , △FAB 是正三角形,得 32 × 2b2 a = 2c, 化简可得(2a2 - 3b2)(2a2 + b2) = 0, 所以 2a2 - 3b2 = 0,所以 b 2 a2 = 23 , 所以椭圆的离心率 e = ca = 1 - b2 a2 = 33 . 故选 C. 5. [解析] 　 设直线 l:y = 32 x + t,A(x1,y1),B(x2,y2) . (1)由题设得 F 34 ,0( ), 故 | AF | + | BF | = x1 + x2 + 3 2 . 又 | AF | + | BF | = 4,所以 x1 + x2 = 5 2 . 由 y = 32 x + t, y2 = 3x { 可得 9x2 + 12(t - 1)x +