(练案)第7章第6讲 空间向量的应用-2023年新高考数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)

则AP→ = a AB→ + b AC→, (x - 1,8, - 4) = a(1,0, - 1) + b(2,4,0), 即 x - 1 = a + 2b 8 = 4b - 4 = - a { ,解得 x = 9,故选 B. 3. AC　 ∵ 直线 l1、 l2 的方向向量分别是AB → = (2,4,x),CD→ = (2,y,2), | AB→ | = 6且 l1⊥l2, ∴ 4 + 16 + x 2 = 6 4 + 4y + 2x = 0{ ,解得 x2 = 16 x + 2y + 2 = 0{ , ∴ x = 4 y = - 3{ 或 x = - 4 y = 1{ , ∴ x + y = 1 或 x + y = - 3. 故选 AC. 4. A　 取 BC 的中点 O,连接 DO,AO, ∵ BD = DC,∴ DO⊥BC, 又平面 DBC⊥平面 ABC, ∴ DO⊥平面 ABC,从而 DO⊥OA,又 AB = AC, ∴ AO⊥BC,如图建立空间直角坐标系, 则CM→ = - 22 , 2 4 , 2 4( ),BN → = 3 2 4 ,0, 2 4( ), 则 cos􀎮CM→,BN→􀎯 = CM →·BN→ | CM→ | | BN→ | = - 58 3 2 × 5 2 = - 156 , ∴ 异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值为 156 . 选 A. 5. [证明] 　 解法一:取 BC 的中点 O,连接 AO. ∵ △ABC 为正三角形,∴ AO⊥BC. ∵ 在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1, ∴ AO⊥平面 BCC1B1, 取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,OB →,OO1→,OA→的方向分别为 x,y,z 轴的 正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则B(1,0,0),D( - 1,1,0), A1(0,2, 3),A(0,0, 3),B1(1,2,0) . 设平面 A1BD 的法向量为 n = (x,y,z),BA1 → = ( -1,2, 3),BD→ = ( -2,1,0). 则 n⊥BA1 →,n⊥BD→,故 n·BA1 → = 0, n·BD→ = 0.{ ∴ - x + 2y + 3z = 0, - 2x + y = 0,{ 令 x = 1,则 y = 2,z = - 3 . 故 n = (1,2, - 3)为平面 A1BD 的一个法向量, 而AB1 → = (1,2, - 3), ∴ AB1 → = n,即AB1→∥n, ∴ AB1⊥平面 A1BD. 解法二:设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m. 由共面向 量定理,则存在实数 λ,μ,使 m = λ BA1 → + μ BD→. 令BB1 → = a,BC→ = b,BA→ = c,显然它们不共面,并且 | a | = | b | = | c | = 2, a·b = a·c = 0,b·c = 2, 以它们为空间的一组基底,则BA1 → = a + c,BD→ = 12 a + b,AB1 → = a - c,m = λ BA1 → + μ BD→ = λ + 12 μ( )a + μb + λc, AB1 → · m = ( a - c ) · λ + 12 μ( )a + μb + λc[ ]= 4 λ + 1 2 μ( )- 2μ - 4λ = 0. 故AB1 →⊥m,结论 得证. 解法三:基向量的取法同上. ∵ AB1 →·BA1→ = (a - c)·(a + c) = | a | 2 - | c | 2 = 0, AB1 →·BD→ = (a - c)· 12 a + b( )= 1 2 | a | 2 + a·b - 12 a·c - b·c = 0, ∴ AB1 →⊥BA1→,AB1→⊥BD→,即 AB1⊥BA1,AB1⊥BD,由直线和平面垂直的判 定定理,知 AB1⊥平面 A1BD. 第六讲　 空间向量的应用 知识梳理 知识点一 无数　 无数 知识点三 | a·b | | a | | b | 知识点四 | n·e | | n | | e | 知识点五 (1)〈AB→,CD→〉 　 |n1·n2 ||n1 | |n2 | 　 双基自测 1. (1) × 　 (2) × 　 (3)√　 (4) × 　 (5) × 　 (6) × 2. 垂直　 以 A 为原点,分别以AB→,AD→,AA1→所在直线为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系,如图所示. 设正方体的棱长为 1,则 A(0,0,0),M 0,1, 12( ), O 12 , 1 2 ,0( ),N 1 2 ,0,1( ), AM→·ON→ = 0,1, 12( )· 0, - 1