椭圆中求定点的5类问题 专题讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆中求定点的5类问题 一.已知定点位置求定点 1．已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． (1)求曲线T的方程； (2)在x轴上求定点，使得； (3)记的面积为，求的取值范围． 2．已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标． 二.直径相关定点 3．已知，是椭圆上的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线交椭圆于两点（不与点B重合），且以为直径的圆经过点B，试证明：直线过定点，并求出这个定点坐标. 4．已知椭圆经过点，椭圆的左、右焦点分别是，，经过的动直线交椭圆于P，Q两点，且当时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，直线AP，AQ分别与直线交于不同的两点D，E，证明：以线段DE为直径的圆经过轴上的定点，并求出所有的定点坐标． 三.两直线的相交定点 5．在平面直角坐标系中，已知两个定点，曲线上动点满足. (1)求曲线的方程； (2)过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上），设，并设直线和直线交于点.试证明：点恒在一条定直线上，并求出此定直线方程. 6．已知圆上三点，，. (1)求圆的方程； (2)过点任意作两条互相垂直的直线，，分别与圆交于两点和两点，设线段的中点分别为.求证：直线恒过定点. 四.与角度有关的定点 7．已知动圆经过点，且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线､的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由. 8．已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切. (1)求的值； (2)若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 9．已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，过且与轴垂直的直线与椭圆交于点，，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于不同于右顶点的，两点，且，判断直线是否过定点，并说明理由． 五.与斜率有关定点问题 10．已知椭圆C上任意一点P（x，y）到点F（－1，0）的距离与到直线x =－4的距离的比等于．