2.4抛物线的标准方程（第1课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

2.4抛物线的标准方程（第1课时） 第 2章 圆锥曲线 沪教版2020选修第一册 学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点) 抛物线是一种常见的曲线，例如喷泉中喷出的水珠，抛出的篮 球所经过的轨迹都是抛物线．抛物线的用途很广泛，太阳灶、 探照灯、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜、工程建筑等， 都有它的身影，充分利用了抛物线的光学、力学等方面的独有 特性． 与椭圆、双曲线一样，我们也通过操作先画出一段抛物线，然后建立平面直角坐标系推导抛物线方程．如图２- ４- １，将一根直尺在一个平面上固定不动．在一个三角板的一条直角边上取定点A，设三角板的直角顶点为C．取一条细线使它的长度正好等于AC的度．将这条细线的一段固定在三角板的点A，另一端固定在同一平面上的点F ．用一支铅笔靠着细线将它绷紧，当三角板的另一条直角边靠着直尺滑动时，铅笔尖P画出的是一段曲线．观察这段曲线的生成过程可以发现，如果把直尺看作一条定直线l，那么动点P到直线的距离始终等于它与定点F之间的距离． 5 根据抛物线的几何特征,如图,我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为 ，准线l的方程为 . K F M • • x y O H 设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={MǀǀMFǀ=d}. 将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0). ① 7 从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解,以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的距离相等,即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上,我们把方程①叫做抛物线的标准方程,它表示焦点在x轴正半轴上,焦点是 ，准线是 的抛物线. 设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={MǀǀMFǀ=d}. 将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0). ① K F M • • x y O H 8 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程,抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 9 例1.求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（－２，－４）的抛物线的方程 解　若抛物线的焦点在x轴上，由于顶点在原点，点M在第三象限（图２- ４- ３），可知它的开口向左，则可设抛物线的方程为 因为点M（－２，－４）在所求的抛物线上，所以 解得p＝４．故抛物线的方程为 若抛物线的焦点在y轴上，由于顶点在原点，点M在第三象限，可知它的开口向下，可设抛物线的方程为 因为点M（－２，－４）在抛物线上，所以 财务与融资 1.求焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程。 解：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4. 故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2). 当焦点为(4，0)时， 即2p＝16，此时抛物线方程为y2＝16x. 当焦点为(0，－2)时， 此时抛物线方程为x2＝－8y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y. 练一练 11 2.求过点（-3，2）的抛物线的标准方程。 解：因为点(－3，2)在第二象限， 所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)， 把点(－3，2)分别代入 所以所求抛物线的标准方程为 练一练 12 13 练一练 13 14 14 15 15 16 16 求抛物线的标准方程一般有两种形式： （1）定义法，直接利用定义求解． （2）待定系数法． 若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)． 归纳总结 归纳总结 18 例2.　若点P与点F（０，２）的距离比它到直线y＋４＝０的 距离小２，求点P的轨迹方程． 解　我们要先证明轨迹上的所有点P一定在包含x轴在内的上半平面．如图２- -４- ４所示，如果点P出