5.7 切线长定理-(配套课件)2022-2023学年九年级下册数学【初中学霸作业本】鲁教版

第五章 圆 5.7 切线长定理 学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明； 2.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. 学习重难点 掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. 难点 重点 知识点 切线长定理及应用 探究新知 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B P 1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 5 问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B． OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ O. P A B 6 B P O A 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 O. P 已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 想一想 若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB， ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线， ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC. CA=CB O. P A B C 想一想 典例精析 例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC. · A B C D O 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H， E F G H ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 例2 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 切线长问题辅助线添加方法 （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； 总结 课堂练习 1.如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，D，C 为⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度数是( ) A.70° B.85° C.80° D.100° C 2. 如图，PA，PB切⊙ O 于A，B 两点，CD 切⊙ O 于点E，交PA，PB 于点C，D. 若⊙ O 的半径为2，△ PCD 的周长等于4 ，则线段AB 的长是_____ . 第1题图 第2题图 3. 如图，AB，BC，CD 分别与⊙ O 相切于点E，F，G， 若∠ BO