专项18 锐角三角函数实际应用-母子型-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项18 锐角三角函数实际应用-母子型 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 1．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（　　） （精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60） A．28m B．34m C．37m D．46m 【答案】C 【解答】解：由题意可知：AB⊥BC， 在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°， ∵tan∠ADB＝tan58°＝， ∴BD＝≈（m）， 在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°， ∵CD＝70m， ∴BC＝CD+BD＝（70+）m， ∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m）， 解得：AB≈37m， 答：该建筑物AB的高度约为37m． 故选：C． 2．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝α，则建筑物AB的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设AB＝x， 在Rt△ABD中，tanβ＝， ∴BD＝， ∴BC＝BD+CD＝a+， 在Rt△ABC中，tanα＝， 解得x＝． 故选：D． 3．（2022春•茅箭区校级月考）某人为了测量塔DE的高度，他在山下与山脚B在同一水平面的A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进30米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么塔DE的高度是（　　） A．（15+5）m B．（15﹣5）m C．（30+10）m D．（30﹣10）m 【答案】C 【解答】解：设BC＝x米， 在Rt△BDC中，∠DBC＝60°， ∴DC＝BC•tan60°＝x（米）， ∵AB＝30米， ∴AC＝AB+BC＝（30+x）米， 在Rt△ADC中，∠A＝45°， ∴tanA＝＝＝1， ∴x＝15+15， 经检验：x＝15+15是原方程的根， ∴BC＝（15+15）米，DC＝x＝（45+15）米， 在Rt△EBC中，∠EBC＝30°， ∴EC＝BC•tan30°＝（15+15）×＝（15+5）米， ∴DE＝DC﹣CE＝（30+10）米， 故选：C． 4．（2022•吴中区模拟）同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（　　） A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32° 【答案】C 【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF， ∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°， ∴∠EDF＝∠F， ∴DE＝EF， ∵EF＝15米， ∴DE＝15米， 在Rt△CDE中， sin∠CED＝， ∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°， 故选：C． 5．（2022•五华区一模）在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C．已知BC＝300m，且BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，他从点A运行到点C垂直上升的高度约是（　　）（结果保留整数．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°＝0.80，tann37°≈0.75） A．280m B．300m C．325m D．340m 【答案】A 【解答】解：由题意得：四边形BDFE为矩形， ∴EF＝BD＝100m， 在Rt△CBE中，sin∠CBE＝， 则CE＝BC•sin∠CBE＝300•sin37°≈300×0.60＝180（m）， ∴CF＝180+100＝280（m）， ∴他从点A运行到点C垂直上升的高度约为280m， 故选：A． 6．（2022•钟山县校级模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC边上，CD＝AC，AB＝26，则BD的长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝26， ∴BC＝ABcosB＝26×＝24， ∴AC＝＝＝10， ∵CD＝AC， ∴CD＝10，